[论文解读] Faber polynomials of matrices for non-convex sets

Bernhard Beckermann, Michel Crouzeix|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文将矩阵的Faber多项式范数界 $ \|F_n(A)\| \leq 2$ 从凸集推广至非凸紧集 $E \subset \mathbb{C}$，在数值域与逆谱满足特定条件时，建立 $ \|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$ 或 $ \|F_n(A)\| \leq 2v(E)$。核心贡献在于针对非凸、透镜形区域，提出了Krylov子空间方法的广义误差界，显著改进了数值线性代数中的收敛性估计。

ABSTRACT

It has been recently shown that $|| F_n(A) ||\leq 2$, where $A$ is a linear continuous operator acting in a Hilbert space, and $F_n$ is the Faber polynomial of degree $n$ corresponding to some convex compact $E\subset \mathbb C$ containing the numerical range of $A$. Such an inequality is useful in numerical linear algebra, it allows for instance to derive error bounds for Krylov subspace methods. In the present paper we extend this result to not necessary convex sets $E$.

研究动机与目标

• 将已知的矩阵Faber多项式范数界 $\|F_n(A)\| \leq 2$ 从凸集推广至非凸紧集 $E \subset \mathbb{C}$。
• 通过使用非凸谱集（特别是透镜形区域），为Krylov子空间方法（如GMRES）提供显式误差界。
• 通过集合 $E$ 的几何参数显式化所有常数，推广并改进经典Elman界及相关结果。
• 为非凸区域提出Faber多项式的新型积分表示，从而推导出 $F_n(A)$ 的范数界。

提出的方法

• 基于共形映射与边界积分，提出Faber多项式的新型积分公式，将先前结果推广至非凸集。
• 利用从 $E$ 外部到单位圆外部的Riemann映射 $\Phi$，将Faber多项式 $F_n(z)$ 定义为 $\Phi(z)^n$ 的多项式部分。
• 定义几何量 $v(E) = \mathop{\rm supess}\left\{ \frac{1}{\pi} \int_{\partial E_z} |d_\sigma \arg(\sigma - z)| \right\}$，该量将凸性（$v(E) = 1$）推广至非凸性。
• 在条件 $1/r \geq \|A^{-1}\|$ 下，推导出新界 $\|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$，其中 $E = \{z \in E_1 : |z| \geq r\}$，$E_1$ 为包含 $W(A)$ 的凸集。
• 当 $1/r \geq \max\{|z| : z \in W(A^{-1})\}$ 时，建立第二个界 $\|F_n(A)\| \leq 2v(E)$，适用于非凸透镜形区域，可实现更紧的估计。
• 将理论应用于透镜形区域 $E = \{z : |z - c_1| \leq r_1, |z - c_0| \geq r_0\}$，推导出 $\|F_n(A)\|$ 与 $\gamma = 1/|\Phi(0)|$ 的显式表达式，其依赖于角度 $\theta_0, \theta_1, \arg a$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将矩阵Faber多项式的经典界 $\|F_n(A)\| \leq 2$ 从凸集推广至非凸紧集 $E$？
• RQ2 如何利用几何量 $v(E)$ 衡量谱集的非凸性，并控制 $F_n(A)$ 的范数？
• RQ3 如何通过非凸、透镜形谱集，为Krylov子空间方法（如GMRES）导出显式误差界？
• RQ4 当 $E$ 为非凸集时，范数界 $\|F_n(A)\| \leq \gamma^n \cdot \frac{1 + v(E)}{1 - \gamma^{n+1}v(E)}$ 中的常数如何依赖于 $E$ 的几何结构？
• RQ5 能否通过新框架的极限情况（如 $c_0 \to -\infty$ 与 $\theta_0 \to 0$）恢复并改进Elman界及其推广形式？

主要发现

• 对于非凸透镜形集合 $E = \{z \in E_1 : |z| \geq r\}$，其中 $E_1$ 为凸集且包含 $W(A)$，若满足 $1/r \geq \|A^{-1}\|$，则有 $\|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$。
• 当 $1/r \geq \max\{|z| : z \in W(A^{-1})\}$ 时，可建立替代界 $\|F_n(A)\| \leq 2v(E)$，该界在高度非凸集合下优于 $1 + v(E)$。
• 对于由两段圆弧定义的透镜形集合，本文推导出 $\|F_n(A)\| \leq 2 + \frac{4\theta_0}{\pi}$，其中 $\theta_0$ 为外弧中心所对的角。
• 推导出谱半径参数 $\gamma = 1/|\Phi(0)|$ 的显式公式：$\gamma = \frac{\sin\left(\frac{\pi \arg a}{2\pi - \theta_1 + \theta_0}\right)}{\sin\left(\frac{\pi(\pi + \theta_0 - \arg a)}{2\pi - \theta_1 + \theta_0}\right)}$，该参数控制Krylov方法的收敛速率。
• 新界推广并改进了Elman界及其近期扩展，当 $c_0 \to -\infty$ 且 $\theta_0 \to 0$ 时，可作为极限情形恢复这些结果。
• 该框架通过将所有常数表示为谱集 $E$ 的几何参数，实现了GMRES及相关Krylov方法的完全显式误差界。