[论文解读] Facilitated exclusion process and Pfaffian Schur processes

Jinho Baik, Guillaume Barraquand+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 52被引用 8

一句话总结

本文通过Pfaffian Schur过程将一维格点上的Facilitated TASEP（促进TASEP）排除过程映射到半象限中的最后通过时间渗流，研究其统计特性。研究发现，最右侧粒子的位置在立方根尺度下服从Tracy-Widom GSE统计分布，而稀疏扇区内的整体波动则服从GUE统计分布，并在临界标度下靠近对角线处呈现出GUE、GOE与GSE之间的普遍交叉行为。

ABSTRACT

We study the Facilitated TASEP, an interacting particle system on the one dimensional integer lattice. We prove that starting from step initial condition, the position of the rightmost particle has Tracy Widom GSE statistics on a cube root time scale, while the statistics in the bulk of the rarefaction fan are GUE. This uses a mapping with last-passage percolation in a half-quadrant, which we study using the formalism of Pfaffian Schur processes. For the model with exponential weights, we prove that the fluctuations of the last passage time to a point on the diagonal are either Tracy-Widom GSE distributed, Tracy-Widom GOE distributed, or Gaussian, depending on the size of weights along the diagonal. Away from the diagonal, the fluctuations of passage times follow the GUE Tracy-Widom distribution. We also obtain a two-dimensional crossover between GUE, GOE and GSE distribution by studying the multipoint distribution of last passage times close to the diagonal when the size of the diagonal weights is simultaneously scaled close to the critical point. We expect that this crossover arises universally in KPZ growth models in half-space. In terms of interacting particle systems, our results further probe the question of how first particles fluctuate for exclusion processes with downward jump discontinuities in their limiting density profiles. Through the Facilitated TASEP and a previously studied MADM exclusion process we deduce that cube-root time fluctuations seem to be a common feature of such systems. However, the statistics which arise are shown to be model dependent (here they are GSE, whereas for the MADM exclusion process they are GUE).

研究动机与目标

• 通过可积概率工具分析在阶跃初始条件下Facilitated TASEP的波动统计特性。
• 将粒子系统映射到半象限中的最后通过时间渗流，以利用Pfaffian Schur过程的形式体系。
• 确定半象限中对角线附近最后通过时间的普遍行为，特别是GUE、GOE与GSE分布之间的交叉行为。
• 研究在密度分布轮廓中存在向下跳跃间断的排除过程中，首粒子波动的行为特征。
• 比较Facilitated TASEP与其他模型（如MADM排除过程）的统计行为，尤其关注其在立方根尺度波动的性质。

提出的方法

• 采用Pfaffian Schur过程形式体系分析半象限中具有指数权值的最后通过时间渗流。
• 利用Facilitated TASEP与最后通过时间渗流之间的映射关系，将波动结果转移至粒子系统。
• 在对角线权值临界标度下，对半象限中通过时间进行渐近分析，尤其关注对角线附近的行为。
• 推导对角线附近多个最后通过时间的联合分布，以观察GUE、GOE与GSE定律之间的交叉行为。
• 利用已知的Pfaffian与行列式点过程结果，刻画极限分布的特征。
• 以Tracy-Widom分布作为参考律，对系统不同区域中的渐近波动进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阶跃初始条件下，Facilitated TASEP中最右侧粒子的波动统计特性是什么？
• RQ2 半象限中最后通过时间的波动如何依赖于对角线权值的大小？其普遍交叉行为如何表现？
• RQ3 在密度分布轮廓中存在向下跳跃间断的排除过程中，首粒子波动是否普遍遵循立方根尺度统计？
• RQ4 Facilitated TASEP的统计行为与MADM排除过程相比，其表现出的Tracy-Widom定律有何异同？
• RQ5 在半空间KPZ模型中，最后通过时间渗流里GUE、GOE与GSE统计之间的转变是否可被普遍描述？

主要发现

• 从阶跃初始条件出发，Facilitated TASEP中最右侧粒子的位置在立方根时间尺度下服从Tracy-Widom GSE统计分布。
• Facilitated TASEP稀疏扇区内的整体波动服从Tracy-Widom GUE定律。
• 对于指数权值，对角线点的最后通过时间根据对角线权值的大小，分别服从Tracy-Widom GSE、GOE或高斯分布。
• 远离对角线时，最后通过时间的波动服从Tracy-Widom GUE分布。
• 当对角线权值向临界点缩放时，观察到GUE、GOE与GSE分布之间的二维交叉行为，表明半空间KPZ模型中存在普遍行为。
• 研究证实，立方根尺度波动是具有向下跳跃间断密度轮廓的排除过程中的普遍特征，尽管极限统计分布（此处为GSE，MADM中为GUE）具有模型依赖性。