[论文解读] Factor-balancedness, linear recurrence, and factor complexity

Bastíán Espinoza, Pierre Popoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

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一句话总结

这篇论文为线性重复和 S-自适应词中的（均匀）因子平衡性提出一般标准，将其应用于 Sturmian 和 Arnoux–Rauzy 词，并研究与因子复杂性之间的关系，包括一个基于 Toeplitz 的指数级增长的例子。

ABSTRACT

In the study of infinite words, various notions of balancedness provide quantitative measures for how regularly letters or factors occur, and they find applications in several areas of mathematics and theoretical computer science. In this paper, we study factor-balancedness and uniform factor-balancedness, making two main contributions. First, we establish general sufficient conditions for an infinite word to be (uniformly) factor-balanced, applicable in particular to any given linearly recurrent word. These conditions are formulated in terms of $\mathcal{S}$-adic representations and generalize results of Adamczewski on primitive substitutive words, which show that balancedness of length-2 factors already implies uniform factor-balancedness. As an application of our criteria, we characterize the Sturmian words and ternary Arnoux--Rauzy words that are uniformly factor-balanced as precisely those with bounded weak partial quotients. Our second main contribution is a study of the relationship between factor-balancedness and factor complexity. In particular, we analyze the non-primitive substitutive case and construct an example of a factor-balanced word with exponential factor complexity, thereby making progress on a question raised in 2025 by Arnoux, Berthé, Minervino, Steiner, and Thuswaldner on the relation between balancedness and discrete spectrum.

研究动机与目标

• 将因子平衡性与均匀因子平衡性作为无限词中因子规则性量化衡量的动机与研究目标。
• 通过 S-adic 表示，建立适用于线性重复词的一般充分条件以实现（均匀）因子平衡性。
• 在 Sturmian 与三元 Arnoux–Rauzy 词中通过界定有限的弱部分商来刻画均匀因子平衡性。
• 分析因子平衡性与因子复杂性之间的关系，包括非原始替换情形与复杂性增长。

提出的方法

• 引入友好序列与条件（P）、（F）、（D），推导定理 1.2，当导出词为 B_n 字母平衡时得到因子平衡性。
• 使用 S-adic 表示和决定性将因子平衡性问题简化为去置换后的字母平衡性。
• 利用对原始替换词的已知结果，得到一个等价关系：均匀因子平衡 ⇔ 长度-2 因子平衡。
• 将该框架应用于 Sturmian 与 Arnoux–Rauzy 词，获得精确表征（例如，具有限弱部分商的 AR 词为均匀因子平衡）。
• 展示因子平衡性与因子复杂性之间的联系，证明替换性因子平衡词具有线性复杂性，并构造一个具有指数级复杂性的因子平衡词（基于 Toeplitz 的构造）。
• 给出如定理 1.2、定理 1.3、定理 1.4 等明确结果并讨论其意义。

Figure 3. A DFAO generating ${\bf{x}}$ in the Zeckendorf numeration system.

实验结果

研究问题

• RQ1 线性重复词成为（均匀）因子平衡的必要条件（除了充分性之外）有哪些？
• RQ2 哪些 Arnoux–Rauzy 词在字母表大小 d≥2 下是均匀因子平衡的？
• RQ3 是否存在具有指数增长因子复杂性的均匀因子平衡词，且在什么构造下？
• RQ4 是否可能获得具有超线性因子复杂性的均匀因子平衡词？
• RQ5 因子平衡性性质如何与原始替换结构及去置换过程相互作用？

主要发现

• 定理 1.2 给出一般充分条件：通过友好序列与导出词的 B_n-字母平衡性可确保线性重复词的（均匀）因子平衡性。
• 对于原始替换词，该框架导出一个等价性：均匀因子平衡 ⇔ 长度-2 因子平衡。
• 定理 1.3 将均匀因子平衡的 Arnoux–Rauzy 词在最多 3 个字母的字母表上刻画为恰好具有有界弱部分商的词。
• 第 7 节显示替换性因子平衡词具有线性因子复杂性，而定理 1.4 构造一个具有指数级因子复杂性的因子平衡词，表明并非所有因子平衡系统都具有离散谱。
• Tribonacci 词在相关工作中作为一个实例，具有常数 2 的均匀因子平衡性，展示了均匀因子平衡性的适用范围。