[论文解读] Factor frequencies in languages invariant under more symmetries

Ľubomíra Balková|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2011

semigroups and automata theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了在语言关于有限群的所有对称性不变的均匀递归无限词中，不同因子频率数量的最优上界。通过利用约化Rauzy图和群不变对称性，作者将先前的界（特别是Boshernitzan的$3\Delta\mathcal{C}(n)$）改进为$\frac{1}{\#G}(4\Delta\mathcal{C}(n) + \#G - X - Y)$，并通过显式构造证明了该界的紧致性，同时通过一个具有三重旋转对称性的自同态的不动点分析，展示了其最优性。

ABSTRACT

The number of frequencies of factors of length $n+1$ in a recurrent aperiodic infinite word does not exceed $3Δ\C(n)$, where $Δ\C (n)$ is the first difference of factor complexity, as shown by Boshernitzan. Pelantová together with the author derived a better upper bound for infinite words whose language is closed under reversal. In this paper, we further diminish the upper bound for uniformly recurrent infinite words whose language is invariant under all elements of a finite group of symmetries and we prove the optimality of the obtained upper bound.

研究动机与目标

• 将先前关于无限词中因子频率计数的界推广至在有限对称群作用下不变的语言。
• 通过引入群对称性，改进Boshernitzan对非周期性递归词的上界$3\Delta\mathcal{C}(n)$。
• 通过构造显式例子，证明所推导的上界是紧致的。
• 将Rauzy图和频率守恒在对称性下的应用拓展至超越反转对称性的高阶对称群。

提出的方法

• 使用约化Rauzy图来建模均匀递归无限词中的因子频率。
• 应用群论对称性（包括旋转和反射）来约束边和顶点上的频率分布。
• 推导出一个新的上界：$\frac{1}{\#G}(4\Delta\mathcal{C}(n) + \#G - X - Y)$，其中$X$为双特殊因子的数量，$Y$为在特定对称性下为回文的双特殊因子的数量。
• 利用基尔霍夫频率定律，将对称分量间边频率的关系联系起来。
• 构造一个具有三重旋转对称性的自同态的不动点，以检验该上界的紧致性。
• 通过双特殊因子存在与否的分类分析，将频率集合与图结构相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在语言关于有限对称群不变的均匀递归无限词中，不同因子频率数量的最小上界是什么？
• RQ2 双特殊因子和回文对称性的存在如何影响不同因子频率的数量？
• RQ3 能否在实际中实现由群对称性导出的上界，若能，其条件是什么？
• RQ4 当存在对称性时，新上界与Boshernitzan的$3\Delta\mathcal{C}(n)$界相比如何？
• RQ5 该上界是否最优？能否通过显式例子使其达到饱和？

主要发现

• 本文建立了关于不同因子频率数量的新上界：$\frac{1}{\#G}(4\Delta\mathcal{C}(n) + \#G - X - Y)$，该界改进了Boshernitzan的$3\Delta\mathcal{C}(n)$界。
• 该上界被证明是紧致的，其紧致性通过一个具有三重旋转对称性的自同态的不动点实现，此时上界被精确达到。
• 当语言在长度$n$处包含一个双特殊因子时，长度$n+1$的因子频率的种类数恰好为2，与上界一致。
• 当在长度$n$处不存在双特殊因子时，不同频率的种类数恰好为3，同样与推导出的上界一致。
• 因子长度$n+1$的频率集合被证明根据双特殊因子的存在与否及对称类型，仅取三种特定形式之一。
• 尽管Thue-Morse词具有非平凡的对称群，但其并未达到该上界，表明该上界并非普遍紧致，但在一般情况下是最优的。