[论文解读] Factorability, String Rewriting and Discrete Morse Theory

Alexander Heß, Viktoriya Ozornova|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文建立了幺半群中的可分解性与离散莫射理论之间的联系，表明可分解幺半群可通过巴复形上的匹配，利用一个小型链复形来计算其同调。关键贡献在于：基于可分解结构导出的规范形，提出了一种适用于任意生成系统的幺半群的一般性复形构造方法，并证明了其关联的重写系统并不总是诺特性的，尽管在诸如阿廷幺半群和加尔西德群等重要情形下是诺特性的。

ABSTRACT

This article deals with the notion of factorability. Elements of a factorable group or monoid possess a normal form, which leads to a small complex homotopy equivalent to its bar complex, thus computing its homology. We investigate the relations to string rewriting and to discrete Morse theory on the bar complex. Furthermore, we describe a connection between factorability and Garside theory.

研究动机与目标

• 研究幺半群的可分解性、字符串重写系统与巴复形上离散莫射理论之间的关系。
• 将博迪盖默与维西的对称群同调计算框架扩展至具有任意生成系统的普遍幺半群。
• 阐明与可分解结构相关的重写系统在加尔西德理论背景下为诺特性的条件。
• 证明可分解结构存在于一大类幺半群中，包括阿廷幺半群和某些加尔西德群。
• 为组合群论与幺半群论中的同调计算提供一个统一框架，连接可分解性、重写系统与离散莫射理论。

提出的方法

• 将幺半群上的可分解结构定义为满足公理的分解映射，以确保测地规范形与乘法的相容性。
• 利用可分解幺半群中生成元的不稳定对构造一个小型链复形，其基元素形式为 $[m_n | \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} m_1]$，其中 $(m_{i+1}, m_i)$ 为不稳定对。
• 将离散莫射理论应用于幺半群的巴复形，证明由可分解结构诱导的匹配可生成同伦等价的小型复形。
• 证明所得链复形可计算幺半群的同调，将维西与王的结果推广至具有任意生成系统的幺半群。
• 利用左诺特性与最小左公倍元闭包的概念，建立关联重写系统为完全且诺特性的条件。
• 引入一个对合映射 $\gamma$ 以减少证明中对称情形的处理，尤其在涉及规范形非唯一性的反例论证中。

实验结果

研究问题

• RQ1 幺半群上的可分解结构在何种条件下导致诺特性重写系统？
• RQ2 可分解结构如何与幺半群巴复形上的离散莫射理论相关联？
• RQ3 能否通过可分解设定中由规范形导出的小型链复形来计算幺半群的同调？
• RQ4 哪些幺半群类（如阿廷幺半群或加尔西德群）在特定生成集下具有可分解结构？
• RQ5 为何即使在有限且右可消去的幺半群中，重写系统仍可能不是诺特性的？其何种结构性质导致了这一失败？

主要发现

• 可分解幺半群 $(M, \\(mathcal{E}, \eta)$ 具有一个小型链复形 $(\mathbb{V}_*, \partial^\mathbb{V})$，其基由满足 $m_i \in \mathcal{E} \setminus \{1\}$ 且相邻对 $(m_{i+1}, m_i)$ 不稳定的元组 $[m_n | \ldots | m_1]$ 构成，且该复形可计算 $M$ 的同调。
• 与可分解幺半群相关的重写系统不一定是诺特性的，附录中的反例已证明这一点，即使幺半群是右可消去且系统有限。
• 若 $M$ 是右可消去的、左诺特性的，且任意两个具有左公倍元的元素均存在最小左公倍元，则与可分解结构相关的重写系统是完全且诺特性的。
• 满足定理 12.5 条件的幺半群类（包括阿廷幺半群）具有可分解结构，推广了关于加尔西德群与对称群的已知结果。
• 幺半群上的可分解结构对生成集极为敏感；例如，对称群对对换是可分解的，但对单对换则不是。
• 幺半群上的一个对合 $\gamma$ 保持可分解结构与匹配不变，从而可对称地简化证明情形，尤其在反例构造中。