[论文解读] Factoring Polynomials over Finite Fields using Balance Test

Chandan Saha|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 6

一句话总结

该论文在广义黎曼猜想（ERH）假设下，提出了一种用于在有限域上对单变量多项式进行因式分解的确定性多项式时间算法，其核心是基于迭代辅助多项式的新型‘平衡测试’，用以检测根的非对称性。该方法通过引入更严格的‘交叉平衡’性质，改进了Gao的平方平衡条件，使得除高度对称的一类多项式外，均可实现多项式时间因式分解，并进一步设计了基于随机选择辅助多项式的随机化变体，该变体在合理域条件下以高概率成功。

ABSTRACT

We study the problem of factoring univariate polynomials over finite fields. Under the assumption of the Extended Riemann Hypothesis (ERH), (Gao, 2001) designed a polynomial time algorithm that fails to factor only if the input polynomial satisfies a strong symmetry property, namely square balance. In this paper, we propose an extension of Gao's algorithm that fails only under an even stronger symmetry property. We also show that our property can be used to improve the time complexity of best deterministic algorithms on most input polynomials. The property also yields a new randomized polynomial time algorithm.

研究动机与目标

• 将Gao的平方平衡条件推广为更严格的对称性性质——交叉平衡，以实现对更广泛多项式类的确定性因式分解。
• 通过利用输入多项式根的结构非对称性，降低确定性多项式因式分解的最坏时间复杂度。
• 通过使用随机选择的辅助多项式，设计一种随机化多项式时间算法，确保在合理域条件下具有高成功概率。
• 通过减少因式分解计算中使用的环的维数，避免先前方法的高计算开销。
• 通过识别一种新的、可测试的对称性条件，解决在ERH假设下有限域上确定性多项式时间因式分解的开放问题。

提出的方法

• 该算法使用 $ k = (n /\text{log } p)^{O(1)} $ 个低次辅助多项式 $ p_1, \bar{p}_2, \bar{p}_3, \bar{p}_k $，其中 $ p_1(y) = y $，对输入多项式 $ f $ 的根进行变换。
• 对每个 $ p_l $，构造一个有向图 $ G_l $，其顶点数为 $ n $（对应根 $ \theta_i $），当且仅当 $ \theta_j \neq \theta_i $ 且 $ \text{sign}((p_l(\theta_i) - p_l(\theta_j))^2) = -(p_l(\theta_i) - p_l(\theta_j)) $ 时，存在边 $ v_i \to v_j $，其中使用了Gao工作中定义的平方根函数 $ \rho $。
• 集合 $ D_i^{(l)} $ 通过迭代方式定义为 $ D_i^{(l)} = D_i^{(l-1)} \bigcap \triangle_i^{(l)} $，其中 $ \triangle_i^{(l)} $ 捕获了变换后根的对称差异。
• 若任一 $ G_l $ 不是正则图（即所有顶点的入度与出度相等），则在 $ O(k \times (n /\text{log } p)^{O(1)}) $ 时间内可找到 $ f $ 的非平凡因子。
• 若 $ G_l $ 为正则图且 $ G_l \neq G_{l-1} $，则算法计算 $ f'(y) $ 的首一因子 $ g_l(y) $，其次数不超过 $ g_{l-1}(y) $ 的一半，从而保证对数级收敛。
• 在随机化性能方面，算法使用均匀随机选择的 $ n-1 $ 次辅助多项式，并证明在 $ \bar{O}(\text{log } n) $ 步骤中保持正则性的概率呈指数级下降，从而确保高概率成功。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gao的平方平衡测试中的对称性条件能否被强化，以实现对更广泛多项式类的确定性因式分解？
• RQ2 使用辅助多项式是否能降低因式分解中所用环的维数，从而改善时间复杂度？
• RQ3 随机选择的辅助多项式破坏所需对称性的概率是多少，从而在随机化多项式时间内实现成功因式分解？
• RQ4 能否修改算法，使得在对称性被打破时，中间因子 $ g_l(y) $ 的次数在每步至少减半？
• RQ5 是否能以多项式时间确定性地构造此类辅助多项式，从而在ERH假设下实现完全的确定性多项式时间因式分解？

主要发现

• 若任一图 $ G_l $ 不是正则图，则该算法可在确定性多项式时间内因式分解 $ f $，时间复杂度为 $ O(k \times (n /\text{log } p)^{O(1)}) $，其中 $ k = (n /\text{log } p)^{O(1)} $。
• 若 $ G_1, \bar{G}_k $ 全为正则图，且对至少 $ \bar{\text{log}}_2 n $ 个 $ l $ 值满足 $ G_l \neq G_{l-1} $，则 $ f $ 可在 $ O(k \times (n /\text{log } p)^{O(1)}) $ 时间内被因式分解。
• 当 $ p \triangleq 3 \bmod 4 $ 且 $ p > n^6 2^{2n} $ 时，平方自由且完全分裂的多项式中为平方平衡的占比至多为 $ \frac{(1+o(1))^n}{(\frac{\bar{\text{pi}}}{2}n)^{n/2}} $，表明此类多项式极为稀少。
• 当辅助多项式 $ p_l(y) $ 均匀随机选择为 $ n-1 $ 次时，$ f_l $ 不是平方自由或为平方平衡的概率至多为 $ \frac{(1+o(1))^n}{(\frac{\bar{\text{pi}}}{2}n)^{n/2}} $，因此该算法以高概率成功。
• 当 $ p \triangleq 1 \bmod 4 $ 时，若 $ G_l $ 为正则图，则 $ G_{l+1} \neq G_l $ 的概率至少为 $ 1 - \frac{1}{2^{0.9n - 2}} $，从而确保 $ \bar{O}(\text{log } n) $ 步骤足以高概率完成。
• 该算法在 $ \bar{O}(\text{log } n) $ 次迭代内未能因式分解 $ f $ 的概率小于 $ \frac{\bar{O}(\text{log } n)}{2^{0.9n - 2}} $，证明了随机化版本以高概率在多项式时间内运行。