[论文解读] Factoring using 2n+2 qubits with Toffoli based modular multiplication

Thomas Häner, Martin Roetteler+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出了一种仅使用 2n+2 量子比特的空间优化实现方案，采用基于 Toffoli 的就地常数加法器电路与脏辅助量子比特，实现了 O(n³ log n) 的门数与 O(n³) 的电路深度，与以往的空间高效设计相当，同时消除了昂贵的旋转合成，并通过可逆电路技术实现了高效的经典仿真与硬件调试。

ABSTRACT

We describe an implementation of Shor's quantum algorithm to factor n-bit integers using only 2n+2 qubits. In contrast to previous space-optimized implementations, ours features a purely Toffoli based modular multiplication circuit. The circuit depth and the overall gate count are in O(n^3) and O(n^3 log(n)), respectively. We thus achieve the same space and time costs as Takahashi et al., while using a purely classical modular multiplication circuit. As a consequence, our approach evades most of the cost overheads originating from rotation synthesis and enables testing and localization of faults in both, the logical level circuit and an actual quantum hardware implementation. Our new (in-place) constant-adder, which is used to construct the modular multiplication circuit, uses only dirty ancilla qubits and features a circuit size and depth in O(n log(n)) and O(n), respectively.

研究动机与目标

• 使用仅 2n+2 个量子比特实现 Shor 算法，最小化量子比特开销，同时保持实际可扩展性。
• 用经典启发的可逆 Toffoli 网络替代基于旋转的算术运算（如 QFT），以避免旋转合成开销。
• 通过使用脏辅助量子比特和可逆逻辑，实现对量子电路的高效经典仿真与硬件级调试。
• 仅使用 1 到 n 个脏辅助量子比特，实现大小为 O(n log n)、深度为 O(n) 的常数加法器电路，避免对干净辅助量子比特的需求。
• 证明基于 Toffoli 的算术运算在结合量子误差纠正时，可实现更优的渐近门数与深度标度。

提出的方法

• 设计一种基于 Toffoli 的就地常数加法器，仅使用脏辅助量子比特，将一个经典 n 位常数加到一个 n 量子比特寄存器上。
• 将该常数加法器作为核心构建模块，构建完全基于 Toffoli 的模乘法电路，替代受控旋转门。
• 通过重复使用基于 Toffoli 的加法器执行模乘法，构建 Shor 算法中的模指数运算步骤。
• 利用在计算过程中借用并最终恢复至原始状态的脏辅助量子比特，实现在不需干净初始化的情况下保持空间效率。
• 通过在中间步骤避免叠加态，确保电路完全可逆且可进行经典仿真。
• 通过基于二分查找的故障定位方法，在物理硬件上测试基态输入，并将输出与仿真理想结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用完全基于 Toffoli 的算术电路，在仅 2n+2 个量子比特下实现 Shor 算法？
• RQ2 在 Toffoli 网络中使用脏辅助量子比特是否能减少在量子误差纠正下对昂贵单量子比特旋转合成的需求？
• RQ3 经典可逆仿真器能否有效在大规模上测试和调试基于 Toffoli 的量子电路？
• RQ4 能否在保持正确性与空间效率的前提下，使用完全基于 Toffoli 的电路实现 O(n³ log n) 门数与 O(n³) 深度？
• RQ5 能否通过基态测试与在 Toffoli 网络上递归使用二分查找，高效地在物理实现中进行故障定位？

主要发现

• 所提出的基于 Toffoli 的常数加法器仅使用 1 到 n 个脏辅助量子比特，即可实现 O(n log n) 的电路规模与 O(n) 的深度，支持空间高效的算术运算。
• 模乘法电路完全由 Toffoli 门和 Clifford 门构成，避免了受控旋转门及其相关的合成开销。
• 整体电路规模为 O(n³ log n)，深度为 O(n³)，在资源标度上与目前已知的最佳空间优化实现相当。
• 使用基于 Toffoli 的电路可实现逻辑电路的完整经典仿真，并通过基态测试与故障定位实现高效的硬件级调试。
• 该方法避免了精确 QFT 实现中 Θ(n⁴) 的门数与先前基于 Toffoli 的设计中 Θ(n³ log²n) 的成本，实现了最优的渐近标度。
• 该方法使得在经典硬件上对量子电路进行实际测试与验证成为可能，而这是对 QFT 基加法器等叠加态密集型电路无法实现的。