[论文解读] Factorization for Hardy spaces and characterization for BMO spaces via commutators in the Bessel setting

Xuan Thinh Duong, Ji Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文通过与Bessel算子 $\Delta_\lambda$ 相关的Riesz变换 $R_{\Delta_\lambda}$ 的双线性形式，建立了 Hardy 空间 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 的弱分解，该分解刻画了与 $\Delta_\lambda$ 相关的 BMO 空间通过交换子的性质。此外，本文进一步证明了与算子 $S_\lambda$ 相关的 Hardy 空间 $H^1_{S_\lambda}$ 不存在此类弱分解，意味着 $S_\lambda$ 的 BMO 空间无法通过与 $R_{S_\lambda}$ 的交换子来刻画。

ABSTRACT

Fix $λ>0$. Consider the Hardy space $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ in the sense of Coifman and Weiss, where $\mathbb{R_+}:=(0,\infty)$ and $dm_λ:=x^{2λ}dx$ with $dx$ the Lebesgue measure. Also consider the Bessel operators $Δ_λ:=-\frac{d^2}{dx^2}-\frac{2λ}{x} \frac d{dx}$, and $S_λ:=-\frac{d^2}{dx^2}+\frac{λ^2-λ}{x^2}$ on $\mathbb{R_+}$. The Hardy spaces $H^1_{Δ_λ}$ and $H^1_{S_λ}$ associated with $Δ_λ$ and $S_λ$ are defined via the Riesz transforms $R_{Δ_λ}:=\partial_x (Δ_λ)^{-1/2}$ and $R_{S_λ}:= x^λ\partial_x x^{-λ} (S_λ)^{-1/2}$, respectively. It is known that $H^1_{Δ_λ}$ and $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ coincide but they are different from $H^1_{S_λ}$. In this article, we prove the following: (a) a weak factorization of $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ by using a bilinear form of the Riesz transform $R_{Δ_λ}$, which implies the characterization of the BMO space associated to $Δ_λ$ via the commutators related to $R_{Δ_λ}$; (b) the BMO space associated to $S_λ$ can not be characterized by commutators related to $R_{S_λ}$, which implies that $H^1_{S_λ}$ does not have a weak factorization via a bilinear form of the Riesz transform $R_{S_λ}$.

研究动机与目标

• 通过与 Bessel 算子 $\Delta_\lambda$ 相关的 Riesz 变换 $R_{\Delta_\lambda}$，建立 Hardy 空间 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 的弱分解。
• 通过涉及 $R_{\Delta_\lambda}$ 的交换子，刻画与 $\Delta_\lambda$ 相关的 BMO 空间。
• 研究与算子 $S_\lambda$ 相关的 Hardy 空间 $H^1_{S_\lambda}$ 是否可通过其 Riesz 变换 $R_{S_\lambda}$ 的双线性形式实现弱分解。
• 确定与 $S_\lambda$ 相关的 BMO 空间是否可通过与 $R_{S_\lambda}$ 的交换子来刻画。

提出的方法

• 利用 Riesz 变换 $R_{\Delta_\lambda} = \partial_x (\Delta_\lambda)^{-1/2}$ 定义 Hardy 空间 $H^1_{\Delta_\lambda}$，并将其与 Coifman-Weiss 的 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 联系起来。
• 通过双线性形式 $\Pi_{\Delta_\lambda}(g,h) = g R_{\Delta_\lambda} h - h \widetilde{R_{\Delta_\lambda}} g$ 的弱分解技术，表示 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 中的函数。
• 利用 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 与与 $\Delta_\lambda$ 相关的 BMO 空间之间的对偶性，将交换子范数与 BMO 半范数联系起来。
• 通过构造反例 $b_0(x) = \log x$，证明 $b_0 \in \text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ 但 $b_0 \notin \text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)$，即 $H^1_{S_\lambda}$ 的对偶 BMO 空间。
• 利用 $[b, R_{S_\lambda}]$ 在 $L^p(\mathbb{R}_+, dx)$ 上的有界性（当 $b \in \text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ 时）推导出矛盾，若 $H^1_{S_\lambda}$ 允许弱分解，则此矛盾将不成立。
• 应用 Calderón–Zygmund 算子理论及 Coifman、Rochberg 和 Weiss 关于交换子与分解的古典结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 Riesz 变换 $R_{\Delta_\lambda}$ 的双线性形式对 Hardy 空间 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 实现弱分解？
• RQ2 与 Bessel 算子 $\Delta_\lambda$ 相关的 BMO 空间是否可通过与 $R_{\Delta_\lambda}$ 的交换子来刻画？
• RQ3 与算子 $S_\lambda$ 相关的 Hardy 空间 $H^1_{S_\lambda}$ 是否可通过其 Riesz 变换 $R_{S_\lambda}$ 的双线性形式实现弱分解？
• RQ4 与 $S_\lambda$ 相关的 BMO 空间是否可通过与 $R_{S_\lambda}$ 的交换子来刻画？
• RQ5 是否存在某个函数 $b$，使得交换子 $[b, R_{S_\lambda}]$ 在 $L^p$ 上有界，但 $b$ 不属于 $H^1_{S_\lambda}$ 的对偶 BMO 空间？

主要发现

• Hardy 空间 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 可通过 Riesz 变换 $R_{\Delta_\lambda}$ 的双线性形式实现弱分解，这意味着与 $\Delta_\lambda$ 相关的 BMO 空间可通过与 $R_{\Delta_\lambda}$ 的交换子来刻画。
• 与 $S_\lambda$ 相关的 BMO 空间无法通过与 $R_{S_\lambda}$ 的交换子来刻画，如反例 $b_0(x) = \log x$ 所示：$b_0 \in \text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ 但 $b_0 \notin \text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)$。
• 函数 $b_0(x) = \log x$ 满足 $\|[b_0, R_{S_\lambda}]\|_{L^p \to L^p} < \infty$ 对所有 $1 < p < \infty$ 成立，但 $\|b_0\|_{\text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)} = \infty$，表明交换子范数无法控制 BMO$_o$ 半范数。
• BMO$_o$ 无法通过交换子刻画，意味着 $H^1_{S_\lambda}$ 无法通过 $R_{S_\lambda}$ 的双线性形式实现弱分解。
• $H^1_{\Delta_\lambda}$ 与 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 一致，但 $H^1_{S_\lambda}$ 是不同的空间，且缺乏 $\Delta_\lambda$ 情况下的分解结构。
• 该结果凸显了两个 Bessel 算子 $\Delta_\lambda$ 与 $S_\lambda$ 之间 Hardy 空间与 BMO 空间结构的根本差异，尽管两者均与 Bessel 型微分算子相关。