[论文解读] Factorization of denominators in integration-by-parts reductions

Johann Usovitsch|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 25被引用 13

一句话总结

本文介紹了一個 Mathematica 套件 findFactorizedBasis.m，可計算費曼積分的主積分基底，使得維度正則化參數 $d$ 在逐次積分（IBP）約化係數的分母中實現因式分解。透過利用動力學不變量的多項式結構並結合數值採樣與迭代基底替換，該方法降低了計算複雜度，使結果表格大小減半，並透過有限域技術實現更快的代數重構。

ABSTRACT

We present a Mathematica package which finds a basis of master integrals for the Feynman integral reduction. In this basis the dependence on the dimensional regularization in the denominators factorizes in kinematic independent polynomials.

研究动机与目标

• 降低多圈費曼積分中逐次積分（IBP）約化之計算複雜度。
• 發展一組主積分基底，使得約化係數分母中的維度正則化參數 $d$ 因式分解。
• 透過簡化分母的解析結構，實現更快的代數重構。
• 透過事前識別分母構建模塊，支援使用有限域方法的高效 IBP 約化。

提出的方法

• 該方法對動力學不變量和質量使用兩組不同的數值進行兩次 IBP 約化，以識別 $d$-相關的分母構建模塊。
• 透過比較兩次約化中非符號等價的 $d$-相關項，構建一組候選分母多項式集合 $R$。
• 採用迭代替換演算法，在頂級區段替換主積分，以最小化分子多項式在 $d$ 中的次數。
• 替換過程優先選擇分子多項式僅依賴於動力學不變量的配置，確保 $d$-因式分解。
• 演算法按區段自頂向下逐級進行，直至所有 $d$-依賴均實現因式分解。
• 最終基底確保所有分母可因式分解為低次多項式在 $d$ 和動力學不變量的乘積，且指數為整數。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系統性地構造出一組主積分基底，使得 IBP 約化係數中的 $d$-依賴可因式分解為與動力學不變量無關的多項式？
• RQ2 如何簡化分母的解析結構，以降低多圈振幅計算中的計算成本？
• RQ3 因式分解的 $d$-依賴在多大程度上提升了代數重構與基於有限域的 IBP 約化的效率？
• RQ4 何種演算法策略可實現在未掌握完整解析結構的情況下自動識別分母構建模塊？

主要发现

• findFactorizedBasis.m 套件成功生成了一組主積分基底，其中所有分母中的 $d$-依賴均因式分解為低次多項式在 $d$ 和動力學不變量的乘積。
• 對於兩圈雙五邊形積分，該方法因分母因式分解使最終約化表格大小減少了約 50%。
• 該方法使僅需少量數值樣本即可完成代數重構，因為分母的解析結構現已易於確定。
• 該工具已在兩個非平凡範例上驗證：兩圈雙五邊形積分與三圈非平面形式因子積分。
• 當與 Kira 等約化程式配合使用時，特別是結合有限域技術，該工具的性能顯著提升。
• 該方法透過簡化 IBP 約化輸出中有理函數的結構，降低了對高精度算術與磁碟儲存的需求。