[论文解读] Factorization of weakly continuous holomorphic mappings

Manuel González, Joaqín M. Gutiérrez|arXiv (Cornell University)|May 24, 1996

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用 19

一句话总结

该论文建立了复Banach空间之间弱一致连续全纯映射的分解定理：全息映射在有界集上弱一致连续当且仅当其可分解为 $ f = g \circ S $，其中 $ S $ 为紧算子，$ g $ 为全纯映射。该结果基于对弱连续多线性映射的新表征，证明了在弱有界集上弱连续蕴含弱一致连续，即使在较粗的拓扑下也成立，但在较强拓扑下不成立，从而解决了Aron长期提出的问题。

ABSTRACT

We prove a basic property of continuous multilinear mappings between topological vector spaces, from which we derive an easy proof of the fact that a multilinear mapping (and a polynomial) between topological vector spaces is weakly continuous on weakly bounded sets if and only if it is weakly {\it uniformly\/} continuous on weakly bounded sets. This result was obtained in 1983 by Aron, Hervés and Valdivia for polynomials between Banach spaces, and it also holds if the weak topology is replaced by a coarser one. However, we show that it need not be true for a stronger topology, thus answering a question raised by Aron. As an application of the first result, we prove that a holomorphic mapping $f$ between complex Banach spaces is weakly uniformly continuous on bounded subsets if and only if it admits a factorization of the form $f=g\circ S$, where $S$ is a compact operator and $g$ a holomorphic mapping.

研究动机与目标

• 表征复Banach空间有界子集上弱一致连续的全纯映射。
• 解决Aron提出的问题：在任意向量拓扑下，有界集上的连续性是否蕴含一致连续性。
• 将多项式与多线性映射在弱连续与弱一致连续之间的已知等价性，推广至更一般的拓扑向量空间。
• 基于紧性与弱一致连续性，为全纯映射提供一个分解结果。
• 通过 $ L_1[0,1] $ 上的 $ ckw $ 拓扑作为反例，证明在更强拓扑下该等价性不成立。

提出的方法

• 证明多线性映射连续性的通用准则：多线性映射在某子集上连续当且仅当它将该子集中的柯西网映射为柯西网。
• 利用弱有界集是弱预紧的性质，证明在弱有界集上弱连续蕴含弱一致连续。
• 通过构造 $ L_1[0,1] $ 上的 $ ckw $ 拓扑反例，该拓扑比弱拓扑更细但具有相同的收敛序列，证明在更强拓扑下，多项式连续性不蕴含一致连续性。
• 通过将全纯映射分解为其齐次多项式形式的泰勒级数，将主要连续性准则应用于全纯映射。
• 利用改进的已知分解定理版本，对每个齐次多项式通过紧算子与弱连续多项式进行分解。
• 构造全纯映射的分解为复合形式 $ f = g \circ S $，其中 $ S $ 为紧算子，$ g $ 为全纯且在有界集上弱一致连续的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意向量拓扑下，Banach空间之间多项式在有界集上弱连续是否等价于弱一致连续？
• RQ2 多线性映射在弱连续与弱一致连续之间的等价性是否可推广至弱拓扑更粗的拓扑？
• RQ3 每个在有界集上弱一致连续的全纯映射是否都可分解为紧算子与全纯映射的复合？
• RQ4 是否存在强于弱拓扑的拓扑下，连续性蕴含一致连续性的反例？
• RQ5 形式为 $ f = g \circ S $ 的分解，其中 $ S $ 为紧算子且 $ g $ 为全纯映射，是否完全表征了在有界集上弱一致连续的全纯映射？

主要发现

• 在任意弱拓扑更粗的拓扑下，拓扑向量空间之间的多线性映射在弱有界集上弱一致连续当且仅当它在这些集合上弱连续。
• 在更强拓扑下，弱连续与弱一致连续的等价性不成立：$ L_1[0,1] $ 上的多项式在 $ ckw $ 拓扑下在有界集上连续，但在有界集上不 $ ckw $-一致连续。
• 每个在有界集上弱一致连续的复Banach空间之间的全纯映射 $ f $ 都可分解为 $ f = g \circ S $，其中 $ S $ 为紧算子，$ g $ 为全纯映射。
• 该分解是有效的：对任意 $ \epsilon > 0 $，其范数满足 $ \|Q\| \cdot \|S\|^k \leq (1+\epsilon)\|\hat{P}\| $，对每个齐次多项式分量均成立。
• 弱一致连续全纯映射的泰勒级数可被有限型多项式一致逼近，扩展了关于有限型多项式逼近的已知结果。
• 分解 $ f = g \circ S $ 是弱一致连续在有界集上成立的必要且充分条件，从而对这类映射提供了完全表征。