[论文解读] Fair Allocation of Two Types of Chores

Haris Aziz, Jeremy Lindsay+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用 9

一句话总结

本文提出了针对两类不可分任务的公平分配问题的多项式时间算法，实现了至多一项物品的 envy-freeness（EF1）与帕累托最优性（fPO），以及对任意物品的 envy-freeness（EFX）。此外，还提出了一种动态规划算法，可在多项式时间内验证 envy-freeness，从而填补了受限任务设置下该问题的关键复杂性空白。

ABSTRACT

We consider the problem of fair allocation of indivisible chores under additive valuations. We assume that the chores are divided into two types and under this scenario, we present several results. Our first result is a new characterization of Pareto optimal allocations in our setting, and a polynomial-time algorithm to compute an envy-free up to one item (EF1) and Pareto optimal allocation. We then turn to the question of whether we can achieve a stronger fairness concept called envy-free up any item (EFX). We present a polynomial-time algorithm that returns an EFX allocation. Finally, we show that for our setting, it can be checked in polynomial time whether an envy-free allocation exists or not.

研究动机与目标

• 通过限制为两类任务，解决在可加估值下不可分任务的 EF1 与帕累托最优性（PO）分配的开放问题。
• 研究在此受限设置下，EFX 分配是否存在并可高效计算。
• 确定在两类任务实例中检查 envy-freeness 的计算复杂性。
• 为两类任务设置中的分数帕累托最优性（fPO）分配提供一种新颖的刻画。
• 建立一种多项式时间算法，以验证在此受限领域中 envy-free 分配的存在性。

提出的方法

• 提出一种基于代理价值比率与组合结构的 fPO 分配的新刻画，适用于两类任务设置。
• 设计一种基于价值优先级的顺序分配方法的多项式时间算法，用于计算 EF1 与 fPO 分配。
• 开发一种动态规划算法（算法 3），通过追踪已分配组合与剩余物品，递归检查 envy-freeness。
• 利用引理 6.4，基于价值比率与组合分配验证代理之间的 envy-freeness。
• 应用推论 6.3，通过约束组合大小与价值比率，缩小 envy-free 分配的搜索空间。
• 将动态规划框架与回溯机制相结合，以验证 envy-free 分配的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可加估值下，对于两类不可分任务，是否始终存在 EF1 与 fPO 分配？
• RQ2 是否可在多项式时间内计算出两类任务实例的 EFX 分配？
• RQ3 是否存在一种多项式时间算法，用于判断在两类任务设置下 envy-free 分配是否存在？
• RQ4 fPO 分配在两类任务设置下的结构性质是什么？
• RQ5 两类任务之间的价值比率如何影响分配结果中的 envy-freeness 与效率？

主要发现

• 存在一种多项式时间算法，可计算两类任务的 EF1 与 fPO 分配，解决了该受限设置下存在性与计算性问题。
• 可在多项式时间内计算出两类任务实例的 EFX 分配，为此前尚未解决的 EFX 存在性问题提供了积极结果。
• 通过动态规划方法，可在多项式时间内检查 envy-free 分配的存在性，这与一般情况下的 NP-hard 性质形成鲜明对比。
• 本文基于价值比率与组合约束，为 fPO 分配提供了新颖的刻画，从而支持高效算法的设计。
• 动态规划算法通过基于价值的约束递归验证成对 envy-freeness，正确判断 envy-freeness。
• 结果表明，将问题限制为两类任务可实现强大的算法保证——包括 EF1+fPO、EFX 与 envy-freeness 检查——而这些在一般情况下仍为开放问题或计算困难。