[论文解读] Fair Clustering with Multiple Colors

Matteo Böhm, Adriano Fazzone+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Face and Expression Recognition参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文提出了一种从无约束 k-聚类到多颜色（受保护属性）公平 k-聚类的简单归约，实现了对中心基目标（如 k-中位数、k-均值和 k-中心）的常数因子近似。关键结果是公平聚类的 (α + 2)-近似，其中 α 是无约束问题的近似因子，这是许多多颜色公平聚类问题的首个真正常数因子近似。

ABSTRACT

A fair clustering instance is given a data set $A$ in which every point is assigned some color. Colors correspond to various protected attributes such as sex, ethnicity, or age. A fair clustering is an instance where membership of points in a cluster is uncorrelated with the coloring of the points. Of particular interest is the case where all colors are equally represented. If we have exactly two colors, Chierrichetti, Kumar, Lattanzi and Vassilvitskii (NIPS 2017) showed that various $k$-clustering objectives admit a constant factor approximation. Since then, a number of follow up work has attempted to extend this result to a multi-color case, though so far, the only known results either result in no-constant factor approximation, apply only to special clustering objectives such as $k$-center, yield bicrititeria approximations, or require $k$ to be constant. In this paper, we present a simple reduction from unconstrained $k$-clustering to fair $k$-clustering for a large range of clustering objectives including $k$-median, $k$-means, and $k$-center. The reduction loses only a constant factor in the approximation guarantee, marking the first true constant factor approximation for many of these problems.

研究动机与目标

• 解决公平 k-聚类中存在多个受保护群体（颜色）时设计常数因子近似算法的开放问题。
• 将先前仅限于两颜色或特殊情况的结果，扩展到一般中心基聚类目标下的多颜色设置。
• 提供一种通用且稳健的从无约束 k-聚类到公平 k-聚类的归约，保持近似质量在常数因子内。
• 通过与现有高效聚类和 fairlet 分解方法结合，实现实际可扩展性。

提出的方法

• 提出一种从无约束 k-聚类到公平 k-聚类的归约，将近似因子保持在最多加 O(1) 项的范围内。
• 使用运输问题公式化方法，将点分配给中心，同时尊重各聚类中的颜色平衡约束。
• 设计一种针对 k-中心的贪心启发式算法，实现公平聚类的 3-近似。
• 将线性时间 O(d log n)-近似算法扩展至多颜色情形，以处理 k-中位数问题。
• 将归约与快速 fairlet 分解结合，实现对大规模数据集的可扩展性。
• 利用现有无约束问题的近似算法作为子程序，以保持近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 k-中位数和 k-均值等一般中心基目标，是否能为包含三个或更多受保护群体（颜色）的公平 k-聚类实现常数因子近似？
• RQ2 近似比中增加的常数因子（α + 2）是否为必要，还是可以实现更紧的近似？
• RQ3 当涉及超过两种颜色时，公平聚类问题是否严格难于无约束版本？
• RQ4 当 k 为常数时，即使在欧几里得空间中，是否能为公平 k-中位数和 k-均值构造一个 PTAS？
• RQ5 当颜色基数不相等或存在重叠时，双准则近似的极限是什么？

主要发现

• 本文对多颜色公平 k-聚类实现了 (α + 2)-近似，其中 α 是无约束问题的近似因子，适用于所有中心基目标，包括 k-中位数、k-均值和 k-中心。
• 对于 k-中心，一种简单的贪心启发式算法实现了 3-近似，优于以往的双准则或受限结果。
• 对于 k-中位数，该方法将 O(d log n)-近似算法扩展至多颜色情形，同时保持线性时间效率。
• 当存在至少三种颜色时，公平 n-中心和公平 n-中位数问题被证明是 APX-难的，表明其复杂性超过两颜色情形。
• 该归约具有鲁棒性，可与快速 fairlet 分解等可扩展技术结合，使算法可应用于大规模数据集（如包含 450K 个点的 CensusII 数据集）。
• 当 k 为常数时，即使在常数维欧几里得空间中，公平聚类也存在 PTAS，尽管一般 k 情况下 PTAS 的存在性仍为开放问题。