[论文解读] Fair Division with Minimal Sharing

Fedor Sandomirskiy, Erel Segal-Halevi|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2019

Game Theory and Voting Systems被引用 13

一句话总结

本文研究了在异质偏好下对不可分物品与坏物的公平分配问题，重点在于最小化物品共享以实现帕累托最优、无嫉妒或成比例的分配。研究证明，对于通用实例（非退化估值），当参与人数固定时，可多项式时间计算出最小共享物品数的公平分配；然而在估值高度一致的退化情况下，该问题变为 NP-难问题。

ABSTRACT

A set of objects, some goods and some bads, is to be divided fairly among agents with different tastes, modeled by additive utility-functions. If the objects cannot be shared, so that each of them must be entirely allocated to a single agent, then fair division may not exist. What is the smallest number of objects that must be shared between two or more agents in order to attain a fair division? We focus on Pareto-optimal, envy-free and/or proportional allocations. We show that, for a generic instance of the problem --- all instances except of a zero-measure set of degenerate problems --- a fair and Pareto-optimal division with the smallest possible number of shared objects can be found in polynomial time, assuming that the number of agents is fixed. The problem becomes computationally hard for degenerate instances, where the agents' valuations are aligned for many objects.

研究动机与目标

• 确定在所有物品必须完整分配给某一参与者的前提下，为实现公平分配而必须共享的最少物品数量。
• 识别在最小共享条件下，公平且帕累托最优分配存在的条件。
• 为通用实例中的此类分配开发高效计算算法。
• 分析该问题的计算复杂性，特别是当参与者的估值高度一致时的退化情况。

提出的方法

• 使用物品集上的可加效用函数对参与者的偏好进行建模。
• 通过无嫉妒性、成比例性和帕累托最优性来定义公平性。
• 将“通用实例”定义为脱离零测度退化问题集合的实例，即参与者的估值在物品上不一致。
• 应用代数几何与优化技术，证明在固定参与人数下，存在且可多项式时间计算出最小共享物品数的公平分配。
• 采用基于扰动的方法以避免退化，确保算法的可计算性。
• 通过归约至凸优化问题，高效求解通用情况下的最小共享方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 当所有物品必须完整分配给某一参与者的前提下，为实现公平分配而必须共享的最少物品数量是多少？
• RQ2 在最小化共享物品数的前提下，能否高效计算出帕累托最优且无嫉妒的分配？
• RQ3 在何种条件下问题保持可计算性，而在何种条件下变得计算困难？
• RQ4 当参与者的估值结构高度相似（即估值高度一致）时，如何影响最小共享公平分配的求解复杂性？

主要发现

• 对于通用实例（非退化估值），当参与人数固定时，可多项式时间计算出最小共享物品数的公平且帕累托最优分配。
• 最小共享物品数有界，且在通用情况下可高效确定。
• 在参与者的估值在多个物品上高度一致的退化实例中，该问题变为计算困难（NP-难）。
• 算法方法依赖于通过扰动避免退化，从而确保解空间的可计算性。
• 在通用实例中，即使存在混合的物品与坏物，也保证存在最小共享的公平分配。
• 在相同计算条件下，该结果对无嫉妒分配与成比例分配同样成立。