[论文解读] Faisceaux automorphes pour GL(n): la premiere construction de Drinfeld

Gérard Laumon|ArXiv.org|Nov 7, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 12

一句话总结

本文基於自守表示的 Whittaker 模型存在性，呈現了 Drinfeld 對 GL(n) 自守 sheaf 的第一種構造方法。該方法以 GL(2) 的 cuspidal 自守表示的 Whittaker 模型為基礎，並推廣至任意秩 n 的情形，採用無特徵限制的方法，結合表示理論與代數幾何，建立在向量叢模空間上的自守 sheaf 構造框架。

ABSTRACT

Drinfeld a associe a tout systeme local irreductible de rang 2 sur une surface de Riemann compacte un "faisceau automorphe". Ce faisceau automorphe vit sur l'espace de modules des fibres vectoriels de rang 2 sur cette meme surface de Riemann. En fait, Drinfeld a donne deux constructions de ce faisceau automorphe. La premiere est basee sur l'existence d'un modele de Whittaker pour toute representation automorphe cuspidale pour GL(2). Elle garde un sens en caracteristique positive et elle s'etend conjecturalement en rang n arbitraire. La seconde construction est basee sur un calcul explicite de l'anneau des sections globales d'un certain faisceau d'operateurs differentiels sur l'espace de modules des fibres vectoriels. Elle n'a pour l'instant de sens qu'en caracteristique nulle mais, par contre, elle est de portee plus generale que la premiere construction car elle a un sens non seulement pour GL(n) mais aussi pour un groupe reductif arbitraire. Ceci est le texte de deux exposes consacres a la premiere construction de Drinfeld et a son extension conjecturale en rang n arbitraire, que j'ai donnes a Luminy lors du Colloque "Fibres vectoriels sur les courbes et theorie de Langlands", en juin 1995.

研究动机与目标

• 解釋 Drinfeld 如何基於 cuspidal 自守表示的 Whittaker 模型，構造 GL(2) 的自守 sheaf。
• 透過類似的 Whittaker 模型技術，將此構造推廣至更高秩群 GL(n)。
• 透過向量叢模空間上的 sheaf 實現自守形式的幾何實化。
• 釐清無特徵限制方法在構造中的角色，確保其在正特徵下依然有效。
• 為幾何 Langlands 理論與自守形式領域的研究者，提供第一種構造的基礎性說明。

提出的方法

• 以 GL(2) 的 cuspidal 自守表示的 Whittaker 模型存在性為核心技術輸入。
• 將自守 sheaf 構造為緊緻黎曼曲面上秩 2 向量叢模空間上的幾何對象。
• 應用代數幾何技術，特別是模堆上的層理論與微分算子。
• 依賴自守形式理論及其在正特徵下的幾何對應物。
• 透過 Whittaker 模型方法的推廣，將 GL(2) 的構造推廣至 GL(n)。
• 採用 D-模框架，並研究模空間上微分算子層的全局截面。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用表示理論資料，幾何地構造 GL(n) 的自守 sheaf？
• RQ2 Whittaker 模型在 GL(2) 自守 sheaf 構造中扮演何種角色？其推廣至更高秩的可能性為何？
• RQ3 Drinfeld 的第一種構造如何推廣至任意秩 n？其必要之猜想假設為何？
• RQ4 此構造在正特徵下表現為何？其相較於其他方法的強健性來自何處？
• RQ5 向量叢模空間與透過 sheaf 實現自守形式的幾何實化之間的關係為何？

主要发现

• Drinfeld 對 GL(2) 自守 sheaf 的第一種構造，基於 cuspidal 自守表示的 Whittaker 模型存在性。
• 該構造適用於任意特徵，使其具備數論應用的潛力。
• 自守 sheaf 被實現為緊緻黎曼曲面上秩 2 向量叢模空間上的 sheaf。
• 該方法可猜想性地推廣至任意 n 的 GL(n)，並保持其無特徵限制的性質。
• 該方法透過模堆上的層論構造，提供了自守形式的幾何實化。
• 此構造與第二種基於微分算子全局截面顯式計算的方法不同，後者目前僅適用於特徵零。