[论文解读] Faisceaux pervers sur les espaces d'arcs I: Le cas d'\'egales caract\'eristiques

Alexis Bouthier, David Kazhdan|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 8

一句话总结

本文在相等特征下建立了弧空间上奇异层的奠基性理论，证明了弧空间是有限维空间与无限维仿射空间的局部拟光滑积。本文引入一个新的拓扑空间以定义具有t-结构和Verdier对偶性的l进层的有界构造层范畴，并通过Drinfeld-Grinberg-Kazhdan定理的有限维模型构造了交集复形。

ABSTRACT

This article sets the foundations of a theory of perverse sheaves on arc spaces as it was conjectured by Feigin-Frenkel in 1990. We show a structure theorem which says that arc spaces are locally products of something finite dimensional times an infinite dimensional affine space for the pro-smooth topology. In particular, it answers a conjecture of Kollar and Nemethi. We then introduce a new topos, which allows us to define a bounded constructible category of l-adic sheaves equipped with a t-structure and with a Verdier dual. Finally we define an intersection complex whose fibers are given by the finite dimensional models obtained using Drinfeld-Grinbeg-Kazhdan's theorem.

研究动机与目标

• 发展Feigin与Frenkel在1990年所猜想的弧空间上奇异层的理论。
• 解决Kollár与Némethi关于弧空间局部结构的猜想。
• 在弧空间上构造具有t-结构和Verdier对偶性的有界构造层范畴的l进层。
• 通过Drinfeld-Grinberg-Kazhdan定理的有限维模型在弧空间上定义交集复形。

提出的方法

• 证明弧空间是有限维概形与无限维仿射空间的局部拟光滑积。
• 引入一个新的拓扑空间，以适应弧空间上的拟光滑拓扑，从而处理无限维几何。
• 在新拓扑空间上定义有界构造层范畴的l进层，并赋予t-结构。
• 利用拓扑空间理论框架，为该范畴配备Verdier对偶性。
• 通过从Drinfeld-Grinberg-Kazhdan定理中拉回有限维模型来构造交集复形。
• 验证交集复形的纤维同构于由Drinfeld-Grinberg-Kazhdan定理提供的有限维模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于其无限维性质，如何在相等特征下的弧空间上定义奇异层？
• RQ2 在拟光滑拓扑下，弧空间的局部几何结构是什么？
• RQ3 能否在弧空间上构造具有t-结构和Verdier对偶性的有界构造层范畴的l进层？
• RQ4 如何通过有限维模型实现弧空间上的交集复形？
• RQ5 Drinfeld-Grinberg-Kazhdan定理在多大程度上为弧空间上的交集复形提供了有限维模型？

主要发现

• 弧空间是有限维概形与无限维仿射空间的局部拟光滑积，证实了Kollár与Némethi的猜想。
• 构造了一个新的拓扑空间，支持在弧空间上定义有界构造层范畴的l进层。
• 该范畴具有t-结构和Verdier对偶性，使得在此背景下能够发展奇异层理论。
• 弧空间上的交集复形被构造为，其纤维同构于Drinfeld-Grinberg-Kazhdan定理提供的有限维模型。
• 该理论实现了Feigin与Frenkel关于相等特征下弧空间上奇异层的猜想。
• 该框架为通过弧空间上的l进层研究奇点与表示论不变量提供了几何基础。