[论文解读] Families index for Boutet de Monvel operators

Severino T. Melo, Elmar Schrohe+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 8

一句话总结

本论文通过C*-代数K-理论及Atiyah-Singer指标定理的族版本，证明了紧致有边流形上连续族椭圆Boutet de Monvel算子的解析指标与拓扑指标相等。关键结果为：两个指标一致，通过在流形内部余切丛的紧支集K-理论中构造一个典范的拓扑指标类，将Boutet de Monvel的指标理论推广至族情形。

ABSTRACT

We define the analytical and the topological indices for continuous families of operators in the C*-closure of the Boutet de Monvel algebra. Using techniques of C*-algebra K-theory and the Atiyah-Singer theorem for families of elliptic operators on a closed manifold, we prove that these two indices coincide.

研究动机与目标

• 将Boutet de Monvel关于边值问题的指标理论推广至参数化于紧致Hausdorff空间Y的连续算子族。
• 在C*-代数的背景下，定义并研究此类族的解析指标与拓扑指标。
• 利用K-理论工具及Atiyah与Singer的族指标定理，建立这两个指标的相等性。
• 通过纤维化符号映射与子代数同构，构造流形内部余切丛的紧支集K-理论中的一个拓扑指标类。
• 证明族Boutet de Monvel算子的指标等于其对应双倍算子的指标，从而将问题约化至经典族指标定理。

提出的方法

• 将Boutet de Monvel算子族定义为紧致Hausdorff空间Y上C*-代数丛的连续截面，推广单个算子的情形。
• 引入纤维化边界符号映射γ，并利用它定义商代数A/K，其中K为取紧算子值的族的理想。
• 构造子代数A† ⊂ A，使得K*(A†/K) ≅ K*(A/K)，从而建立与经典向量丛K-理论的联系。
• 利用同构K*(A†/K) ≅ K*(A/K)，将拓扑指标构造从交换商代数提升至完整族代数。
• 将每个椭圆族A关联到K*(A/K)中的一个类，然后应用经典拓扑指标映射以定义拓扑指标ind_t(A)。
• 通过将A与其双倍关联，得到一个在闭流形上的族，该族保持两个指标不变，从而证明解析指标ind_a(A) ∈ K(Y)等于拓扑指标ind_t(A)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以与C*-代数K-理论及Atiyah-Singer族指标定理相容的方式，定义族Boutet de Monvel算子的拓扑指标？
• RQ2 如何比较并证明连续族Boutet de Monvel算子的解析指标与拓扑指标相等？
• RQ3 子代数A†在将商代数A/K的K-理论与经典向量丛K-理论联系起来的过程中起什么作用？
• RQ4 当限制于闭流形时，族Boutet de Monvel算子的拓扑指标构造是否等价于经典族指标定理？
• RQ5 族Boutet de Monvel算子的指标能否约化为流形双倍上相关族的指标，同时保持解析与拓扑指标不变？

主要发现

• 对于连续族椭圆Boutet de Monvel算子，解析指标ind_a(A) ∈ K(Y)是良好定义的，依据Atiyah与Jänich的结果。
• 拓扑指标ind_t(A)通过K*(A†/K)中的类构造，而K*(A†/K)同构于K*(A/K)，从而可借助经典K-理论进行拓扑描述。
• 通过将经典拓扑指标映射应用于K*(A†/K)中的类（该类同构于流形内部余切丛的K-理论），定义了拓扑指标。
• 证明了两个指标相等：ind_a(A) = ind_t(A)，从而将Boutet de Monvel的指标定理推广至族情形。
• 通过将原族A与其双倍关联，得到一个在闭流形上的族，其解析与拓扑指标与原族相同，从而建立等式。
• 结果表明，经典Atiyah与Singer的族指标定理足以证明指标相等，无需为边值问题建立新的指标定理。