[论文解读] Families of Hadamard Z2Z4Q8-codes

Ángel del Rı́o, Josep Rifà|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文引入并表征了一类在群环 ℤ₂ℤ₄𝒬₈ 上的新型 Hadamard 码，证明了存在不等价于任何 ℤ₂ℤ₄-线性码的 '纯' ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码。本文建立了此类码的秩与核维数的界限，通过 Gray 映射与 Kronecker 积构造了具体实例，并识别出特定例子——包括一个长度为 32 的非 ℤ₂ℤ₄-线性 Hadamard 码与一个形状为 4 的码——展示了该码族在传统线性模型之外的丰富性。

ABSTRACT

A Z2Z4Q8-code is a non-empty subgroup of a direct product of copies of Z_2, Z_4 and Q_8 (the binary field, the ring of integers modulo 4 and the quaternion group on eight elements, respectively). Such Z2Z4Q8-codes are translation invariant propelinear codes as the well known Z_4-linear or Z_2Z_4-linear codes. In the current paper, we show that there exist "pure" Z2Z4Q8-codes, that is, codes that do not admit any abelian translation invariant propelinear structure. We study the dimension of the kernel and rank of the Z2Z4Q8-codes, and we give upper and lower bounds for these parameters. We give tools to construct a new class of Hadamard codes formed by several families of Z2Z4Q8-codes; we study and show the different shapes of such a codes and we improve the upper and lower bounds for the rank and the dimension of the kernel when the codes are Hadamard.

研究动机与目标

• 研究 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码的结构特性，该类码是使用四元数群 𝒬₈ 推广的 ℤ₂ℤ₄-线性码。
• 确定是否存在不等价于任何 ℤ₂ℤ₄-线性码的此类码，从而确立 '纯' ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码的存在性。
• 分析这些码的秩与核维数，尤其在 Hadamard 码的背景下。
• 利用 Gray 映射与 Kronecker 积，构造无限多个 Hadamard ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码族，扩展已知构造方法。
• 对 Hadamard ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码的可能群结构与形状进行分类，并改进其不变量的界限。

提出的方法

• 本文将 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码定义为 ℤ₂ᵏ¹ × ℤ₄ᵏ² × 𝒬₈ᵏ³ 的子群，利用群结构定义平移不变的拟线性码。
• 采用 Gray 映射 Φ 将 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码转换为二进制码，保持汉明距离，并使二进制像的性质得以研究。
• 使用 Kronecker 积构造 𝒦_g 从已有码生成新码，尤其用于扩展码长并探索新形状。
• 应用群论工具分析码群的结构，包括使用交换器（swappers）检测由生成元生成的群中新增元素。
• 本文使用 '形状' 概念对 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码的群结构进行分类，识别出五种可能的形状。
• 通过在 ℤ₂、ℤ₄ 和 𝒬₈ 上使用生成元构造具体实例，并利用 Gray 映射验证其二进制像为具有期望参数的 Hadamard 码。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在不等价于任何 ℤ₂ℤ₄-线性码的 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码，即 '纯' ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码？
• RQ2 在 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码中，尤其是 Hadamard 码中，秩与核维数的紧致上下界是什么？
• RQ3 所有可能的 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码形状是否都能实现？若能，如何构造？
• RQ4 是否存在长度为 16 或 32 的 Hadamard 码，其非 ℤ₂ℤ₄-线性，但可作为 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码实现？
• RQ5 给定形状下，Hadamard ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码的最大可能秩是多少？此类码能否显式构造？

主要发现

• 本文构造了首个已知的 '纯' ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码实例，其不等价于任何 ℤ₂ℤ₄-线性码，从而证明了此类码的存在性。
• 构造了一个长度为 32、类型为 (3,0,3)、形状为 3、秩为 7、核维数为 4 的 Hadamard 码作为 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码，该码非 ℤ₂ℤ₄-线性。
• 通过基码的 Kronecker 积构造了一个新的长度为 64、类型为 (3,0,4)、形状为 2、秩为 8、核维数为 3 的 Hadamard 码。
• 本文对 Hadamard ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码的可能群结构进行了完整分类，识别出五种不同的形状，并对形状 1 至 5 提供了显式构造。
• 显式构造了一个形状为 4 的码，其生成元来自 ℤ₂⁴ × 𝒬₈，且 Kronecker 构造的变体产生了一个秩为 6 的非线性码，展示了该形状下的最大秩。
• 本文改进了 Hadamard ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码的秩与核维数的上下界，表明其比一般 ℤ₂ℤ₄𝒬₈-码的界限更紧。