[论文解读] Families of hyperelliptic curves

Sergey Gorchinskiy, Filippo Viviani|ArXiv.org|Nov 25, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文在特征不为2的代数闭域上，确定了亏格 $g \geq 2$ 的双椭圆曲线模空间 $H_g$ 的 Picard群与除子类群，证明了 $\operatorname{Pic}(H_g)$ 平凡，而当 $g \geq 3$ 时 $\operatorname{Cl}(H_g)$ 是阶为 $4g+2$ 的循环群，当 $g=2$ 时阶为 $5$。此外，本文给出了模堆 $\mathcal{H}_g$ 的 Picard群生成元的函子性描述，表明 Hodge 线丛生成该群当且仅当 $4 \nmid g$，并证明 $H_g$ 不允许存在典范族，从而说明其不是精细模空间。

ABSTRACT

The main subject is the difference between the coarse moduli space and the stack of hyperelliptic curves. In particular, we compute their Picard groups, giving explicit description of the generators. We also study how many families of hyperelliptic curves may have the same modular map as well as the existence of the tautological family over the coarse moduli space of hyperelliptic curves.

研究动机与目标

• 计算双椭圆曲线模空间 $H_g$（$g \geq 2$）的粗模空间的 Picard 群与除子类群。
• 通过研究其上是否存在典范族，确定 $H_g$ 是否为精细模空间。
• 为模堆 $\mathcal{H}_g$ 的 Picard 群提供一个生成元的函子性描述，扩展已知的 $g=2$ 情形结果。
• 使用上同调与几何方法分析 $H_g$ 上不存在普遍族的障碍。

提出的方法

• 将模空间 $H_g$ 视为商空间 $({\rm Sym}^{2g+2}(\mathbb{P}^1) - \Delta)/PGL_2$，从而可应用不变量理论与商几何。
• 通过等变几何与对称积的结构计算除子类群 $\operatorname{Cl}(H_g)$，证明其当 $g \geq 3$ 时为阶 $4g+2$ 的循环群。
• 利用 $H_g$ 的光滑部分稠密及商构造保持线丛平凡性的事实，证明 Picard 群 $\operatorname{Pic}(H_g)$ 平凡。
• 将模堆 $\mathcal{H}_g$ 识别为商堆 $[\mathbb{A}_{\text{sm}}(2,2g+2)/(GL_2/\mu_{g+1})]$，从而通过等变线丛计算其 Picard 群。
• 通过分析相对典范除子与 Weierstrass 除子的推出，构造 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ 的函子性生成元，并将其表示为 Hodge 线丛的组合。
• 通过证明在 $\operatorname{Pic}((\operatorname{Sym}^{2g+2}(\mathbb{P}^1) - \Delta)^0 \times \mathbb{P}^1)$ 中，普遍除子类不可被 2 整除，从而证明 $H_g^0$ 上不存在典范族，违反了普遍性的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于亏格 $g \geq 2$ 的双椭圆曲线模空间 $H_g$，其除子类群 $\operatorname{Cl}(H_g)$ 的结构是什么？
• RQ2 Picard 群 $\operatorname{Pic}(H_g)$ 是否平凡？这与 $H_g$ 的奇点有何关联？
• RQ3 粗模空间 $H_g$ 是否允许存在双椭圆曲线的典范族？
• RQ4 能否显式地用几何不变量描述模堆 $\mathcal{H}_g$ 的 Picard 群生成元的函子性形式？
• RQ5 Hodge 线丛的第1陈类在何种条件下生成 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$？

主要发现

• 当 $g \geq 3$ 时，除子类群 $\operatorname{Cl}(H_g)$ 是阶为 $4g+2$ 的循环群，当 $g=2$ 时阶为 $5$，表明尽管 $H_g$ 是正规的，但其仍为奇异空间。
• Picard 群 $\operatorname{Pic}(H_g)$ 平凡，这表明由于除子类群非平凡，$H_g$ 不是精细模空间。
• $H_g^0 \subset H_g$ 的开子集上不存在双椭圆曲线的典范族，因为普遍除子在 Picard 群中的类不可被 2 整除。
• 生成元 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ 显式构造为相对典范除子与 Weierstrass 除子的推出的线性组合。
• Hodge 线丛的第1陈类生成 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ 当且仅当 $4$ 不整除 $g$；否则，其仅生成一个指数为 2 的子群。
• 当族具有有理截面且自同构群为 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 时，从基 $S$ 到 $H_g^0$ 的模映射的次数必为偶数，这是由于 $H_g^0$ 的函数域上存在一个阶为 2 的 Brauer 类。