[论文解读] Families of K3 surfaces over curves satisfying the equality of Arakelov-Yau's type and modularity

Xiaotao Sun, Sheng-Li Tan+1 more|ArXiv.org|May 20, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文分类了在阿劳克洛夫-亚型不等式中取等号的曲线上的半稳定K3曲面族，表明此类族源于尼古林对合与椭圆曲面平方的Kummer构造。关键结果建立了模形式性：基曲线通过单值表示同构于上半平面关于 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的同余子群的商，从而通过单值表示将几何与模形式及算术几何联系起来。

ABSTRACT

Let $f:X o C$ be a family of semistable K3 surfaces with non-empty set $S$ of singular fibres having infinite local monodromy. Then, when the so called Arakelov-Yau inequality reaches equality, we prove that $C\setminus S$ is a modular curve and the family comes essentially from a family of elliptic curves through a so called Nikulin-Kummer construction. In particular, when $C=\BBb P^1$, the family of elliptic curves must be one of Beauville's 6 examples where Arakelov inequality reaches equality.

研究动机与目标

• 分类在曲线上取等号的非等秩半稳定K3曲面族在阿劳克洛夫-亚型不等式中的情形。
• 当迭代的Kodaira-Spencer映射为零时，确定此类族的几何与算术结构。
• 建立模形式性条件：通过 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 中的单值表示，证明基曲线同构于模曲线。
• 通过关联椭圆族的单值表示，将K3曲面的几何与模形式及算术几何联系起来。

提出的方法

• 利用阿劳克洛夫-亚型不等式作为对直接像层 $f_*\omega_{X/C}$ 的次数的约束。
• 分析 $R^2f_*\mathbb{Z}_{X^0}$ 的单值表示，其在奇点纤维处具有无限阶。
• 应用Kummer构造，通过尼古林对合将K3曲面与阿贝尔曲面联系起来。
• 在有限 étale 基变换后构造全局尼古林对合，从而得到Kummer曲面族。
• 利用一致化定理，证明去掉奇点纤维后的基曲线同构于 $\mathcal{H}/\Gamma$，其中 $\Gamma \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 为同余子群。
• 利用Hodge理论与VHS（Hodge结构的变型）的结果，特别是 $\mathbb{W}$ 的分裂性及单位化局部系统的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些在曲线上定义的半稳定K3曲面族在阿劳克洛夫-亚不等式 $\deg f_*\omega_{X/C} \leq \deg \Omega^1_C(\log S)$ 中取等号？
• RQ2 当迭代Kodaira-Spencer映射为零且在 $\deg f_*\omega_{X/C} \leq \frac{1}{2}\deg \Omega^1_C(\log S)$ 中取等号时，会形成何种几何结构？
• RQ3 此类族如何与模曲线及 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的同余子群相关联？
• RQ4 关联椭圆族的单值表示能否扩展为映射到 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ 的一致化表示？

主要发现

• 在阿劳克洛夫-亚不等式（0.0.1）中取等号的族，其一般纤维的Picard数至少为19。
• 在有限 étale 基变换后，此类族具有全局尼古林对合，其有理商给出一个Kummer曲面族，该族关联的阿贝尔曲面族与一族椭圆曲线的平方同源。
• 椭圆族的射影单值表示可扩展为映射 $\pi_1(C' \setminus \sigma^{-1}S, *) \to \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$，且 $C' \setminus \sigma^{-1}S \simeq \mathcal{H}/\tau\pi_1(\cdots)$。
• 当迭代Kodaira-Spencer映射为零且在（0.0.2）中取等号时，$R^2f_*\mathbb{Z}_{X^0}$ 的单值表示形式为 $\text{rank-2 trivial} \otimes \tau$，其中 $\tau: \pi_1(C' \setminus \sigma^{-1}S, *) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$。
• 去掉奇点纤维后的基曲线同构于模曲线 $\mathcal{H}/\Gamma$，其中 $\Gamma$ 是 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ 的同余子群，指数为12或24，具体为六种子群之一，包括 $\Gamma(3)$、$\Gamma_0(4) \cap \Gamma(2)$ 等。
• 关联的椭圆族要么可延拓为 $\mathbb{P}^1 \setminus S$ 上的模族，要么其 étale 基变换可延拓，其单值表示的像共轭于投影 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ 下同余子群的原像。