[论文解读] Family of intersecting totally real manifolds of $(\Bbb C^n,0)$ and CR-singularities

Laurent Stolovitch|ArXiv.org|Jun 2, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文研究了 $({\mathbb{C}}^n,0)$ 中的完全实子流形族与 CR-奇点实解析子流形，建立了此类对象可全纯化直化的条件，或与关联二次曲面形式等价的条件。主要贡献在于构造了在存在形式障碍时仍能实现全纯化直化的不变全纯解析集，将 Bishop 不变量推广至高维，并在丢番图与非退化条件下证明了全纯等价性。

ABSTRACT

The first part of this article is devoted to the study families of totally real intersecting $n$-submanifolds of $(\Bbb C^n,0)$. We give some conditions which allow to straighten holomorphically the family. If this is not possible to do it formally, we construct a germ of complex analytic set at the origin which interesection with the family can be holomorphically staightened. The second part is devoted to the study real analytic $(n+r)$-submanifolds of $(\Bbb C^n,0)$ having a CR-singularity at the origin ($r$ is a nonnegative integer). We consider deformations of quadrics and we define generalized Bishop invariants. Such a quadric intersects the complex linear manifold ${z_{p+1}=...=z_n=0}$ along some real linear set ${\cal L}$. We study what happens to this intersection when the quadric is analytically perturbed. On the other hand, we show, under some assumptions, that if such a submanifold is formally equivalent to its associated quadric then it is holomorphically equivalent to it. All these results rely on a result stating the existence (and caracterization) of a germ of complex analytic set left invariant by an abelian group of germs of holomorphic diffeomorphisms (not tangent to the identity at the origin).

研究动机与目标

• 理解 $({\mathbb{C}}^n,0)$ 中在原点相交的 $n$ 维完全实子流形族的全纯分类。
• 分析在原点具有 CR-奇点的实解析 $(n+r)$-维子流形，特别是二次曲面的形变。
• 为高维 CR-奇点子流形定义广义 Bishop 不变量，并研究其在解析扰动下的几何行为。
• 建立形式等价于二次曲面即实际全纯等价于二次曲面的条件。
• 构造一个在阿贝尔全纯微分同胚群作用下不变的全纯解析集的芽，以实现相交的全纯化直化。

提出的方法

• 使用在原点附近作用的阿贝尔全纯微分同胚芽群，识别不变全纯解析集。
• 通过在原点处微分同胚线性部分的非退化性与丢番图条件，应用线性化技术。
• 构造由微分同胚线性部分不变的单项式生成的共振理想 $\mathrm{ResIdeal}$，其零点集定义了不变集的零点集。
• 将问题约化为研究线性化系统的首次积分与不变量，特别关注单项式 $\zeta_i\eta_i$ 与 $\upsilon_j\upsilon_k$。
• 利用子流形的复化及反全纯对合 $\rho$ 的固定点集 $\mathrm{Fix}(\rho)$，刻画其与全纯解析集的交。
• 应用关于在共振与丢番图条件下微分同胚形式线性化的定理，证明直化过程的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$({\mathbb{C}}^n,0)$ 中的 $n$ 维完全实子流形族可全纯化直化为 $n$-平面？
• RQ2 全纯解析集的芽在解决此类族全纯化直化形式障碍中起什么作用？
• RQ3 广义 Bishop 不变量 $\gamma_i$ 如何刻画 $({\mathbb{C}}^n,0)$ 中 $n$ 维 CR-奇点子流形的几何性质？
• RQ4 当一个具有 CR-奇点的实解析子流形形式等价于其关联二次曲面时，何时也全纯等价于该二次曲面？
• RQ5 在适当的全纯坐标下，CR-奇点子流形与不变全纯解析集的交集结构如何？

主要发现

• 存在一个在阿贝尔全纯微分同胚群作用下不变的全纯解析集芽，即使形式直化失败，也可用于实现与完全实子流形族交的全纯化直化。
• 由微分同胚线性部分不变的单项式生成的共振理想 $\mathrm{ResIdeal}$ 定义了子流形与复线性子空间交的复化零点集。
• 当 $p=1$ 时，结果恢复了 Klingenberg 定理：在适当坐标下，$\{v_2=0\}$ 沿 $\{\zeta_1\eta_1=0\}$ 与子流形相交，构成一个实解析集。
• 当线性部分 $D\Phi(0)$ 具有互异的双曲特征值，并且在 $\mathrm{ResIdeal}$ 上满足丢番图条件时，子流形全纯等价于其关联二次曲面。
• 对于具有椭圆或复特征值的子流形，不变集被修正为 $\tilde{V} = V({\cal I}) \cap \bigcap_{i\in{\cal E}}\{\zeta_i=\eta_i=0\} \cap \bigcap_{j\in{\cal C}}\{\zeta_{r+2j-1}=\eta_{r+2j-1}=\zeta_{r+2j}=\eta_{r+2j}=0\}$，其在对合 $\rho$ 下保持不变。
• 定义子流形的函数在 $\mathrm{ResIdeal}$ 的零点集上为零，且 $V(\mathrm{ResIdeal})$ 的 $\tau_j$-不变性确保了在群作用下交集保持不变。