[论文解读] Fano Varieties with Large Degree Endomorphisms

Janós Kollár, Chenyang Xu|ArXiv.org|Jan 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文通过构造在有限群作用下对射影空间 $\mathbb{P}^n$ 的商空间作为反例，挑战了关于具有终端奇点和庞蒂亚金数 1 且允许度大于 1 的自同态的 Fano 代数簇必为有理簇的猜想。证明了在特定群论条件下，此类商空间 $\mathbb{P}^{n-1}/G$ 具有终端奇点，表明其可为具有高次自同态的非有理 Fano 代数簇。

ABSTRACT

We give examples of Fano varieties $X$ with Picard number 1, which have terminal singularities and admit endomorphisms with degree larger than 1.

研究动机与目标

• 挑战关于具有终端奇点和庞蒂亚金数 1 且允许度大于 1 的自同态的 Fano 代数簇必为有理簇的猜想。
• 构造具有终端奇点且结构非有理但仍然允许度大于 1 的自同态的 Fano 代数簇的显式例子。
• 确定 $\mathbb{P}^{n-1}/G$ 具有终端奇点的充分群论条件。
• 探讨此类商空间上自同态的结构，特别是由坐标分量幂映射诱导的自同态。
• 提出一个修正后的猜想，即此类 Fano 代数簇是 $\mathbb{P}^n$ 的商，而非必然有理。

提出的方法

• 使用有限子群 $G \subset S_{n+1}$ 通过置换坐标作用于 $\mathbb{P}^n$。
• 通过将坐标提升至 $d$ 次幂，在 $\mathbb{P}^n$ 上构造自同态 $\phi_d$，其与 $G$-作用可交换。
• 证明 $\phi_d$ 可下降为商空间 $X = \mathbb{P}^n / G$ 上的度 $d^n$ 自同态。
• 应用 Reid-Tai 判别法，通过计算群元素在不动点处的年龄来确定终端奇点。
• 利用群元素的循环分解，计算在置换作用下每个循环对年龄的贡献。
• 证明若 $G$ 中无非平凡元素在 $S_n$ 中共轭于对换、三循环或双对换，则 $\mathbb{P}^{n-1}/G$ 具有终端奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在具有终端奇点和庞蒂亚金数 1 且允许度大于 1 的自同态但非有理的 Fano 代数簇？
• RQ2 在何种群论条件下，商空间 $\mathbb{P}^{n-1}/G$ 具有终端奇点？
• RQ3 由坐标分量幂映射诱导的 $\mathbb{P}^n$ 上的自同态是否可下降为 $\mathbb{P}^n/G$ 上的良定义自同态？
• RQ4 具有高次自同态的 Fano 代数簇类是否严格大于具有庞蒂亚金数 1 的有理 Fano 代数簇类？
• RQ5 当 $G$ 为非交换且较大时，$\mathbb{P}^n/G$ 上的自同态半群具有何种结构？

主要发现

• 若 $G$ 中无元素在 $S_n$ 中共轭于对换、三循环或双对换，则商空间 $\mathbb{P}^{n-1}/G$ 具有终端奇点。
• 对于此类 $G$，商空间 $X = \mathbb{P}^{n-1}/G$ 是具有终端奇点和庞蒂亚金数 1 的 Fano 代数簇。
• 在 $\mathbb{P}^{n-1}$ 上将坐标提升至 $d$ 次幂的自同态 $\phi_d$ 可下降为 $X$ 上的度 $d^{n-1}$ 自同态。
• 这些例子为该猜想提供了反例，即此类 Fano 代数簇不一定是有理的。
• 群元素 $g$ 在不动点处的年龄下界为 $\sum_{i=1}^k (n_i - 1)/2$，其中 $n_i$ 为循环长度。
• 当该和超过 1 时，Reid-Tai 判别法确认为终端奇点，该条件成立，除非 $g$ 共轭于对换、三循环或双对换。