[论文解读] Fantastic Quantum Theories and Where to Find Them

Stefano Gogioso|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文提出了一种统一的范畴论框架，用于基于交换自反半环取值的波函数，构造和分析非标准量子理论，推广了标准量子力学。该理论表明，此类理论可通过一种半环化的玻恩规则产生半环基础的类经典非确定性，并证明了所有主要的玩具模型——包括实数、双曲、p进和有限域量子理论——均可纳入此形式体系，从而实现对它们的上下文性与计算复杂性的统一研究。

ABSTRACT

We present a uniform framework for the treatment of a large class of toy models of quantum theory. Specifically, we will be interested in theories of wavefunctions valued in commutative involutive semirings, and which give rise to some semiring-based notion of classical non-determinism via the Born rule. The models obtained with our construction possess many of the familiar structures used in Categorical Quantum Mechanics. We also provide a bestiary of increasingly exotic examples: some well known, such as real quantum theory and relational quantum theory; some less known, such as hyperbolic quantum theory, p-adic quantum theory and "parity quantum theory"; and some entirely new, such as "finite-field quantum theory" and "tropical quantum theory". As a further bonus, the measurement scenarios arising within these theories can be studied using the sheaf-theoretic framework for non-locality and contextuality. Their computational complexity can similarly be studied within existing frameworks for affine and unitary circuits over commutative semirings.

研究动机与目标

• 基于交换自反半环，发展一个通用的范畴论框架，用于构造量子理论的玩具模型。
• 将多种不同的类量子理论——如实数、双曲、p进和有限域量子理论——统一于同一形式体系之下。
• 通过基于半环的玻恩规则，提供对类经典非确定性的统一处理，推广概率论与可能性论的概念。
• 使层论框架可用于分析这些理论中的上下文性，使现有电路复杂性模型可用于分析其计算能力。

提出的方法

• 使用范畴 $ S\text{-Mat} $ 建模量子系统，其中对象为 $ S^X $（$ X $ 为有限集），态射为关于交换自反半环 $ S $ 的 $ Y \times X $ 矩阵，矩阵复合与共轭转置作为 dagger 结构。
• 通过在 $ S\text{-Mat} $ 上应用 $ \mathrm{CP}^* $-构造，构建混合态理论，得到一个 $ R $-概率理论，其中 $ R $ 为 $ S $ 的正元素半环，从而推广玻恩规则。
• 利用范畴概率理论框架，统一处理具有通用非确定性语义的量子与经典系统，包括带符号概率、可能性或p进非确定性。
• 应用层论方法分析由这些理论导出的测量场景中的上下文性与非定域性。
• 利用现有关于交换半环上仿射与酉电路的复杂性框架，评估计算能力。
• 证明：对于有限域 $ \mathbb{F}_{p^n}(\sqrt{\epsilon}) $，所得理论中纯标量的数量为 $ p^n - 1 $，相位构成循环群 $ \mathbb{Z}_{p^n+1} $，从而支持对隐子群问题与梅明类型上下文性的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过单一范畴论框架，统一描述具有非标准经典接口的一类广义非标准量子理论？
• RQ2 玻恩规则如何推广至半环取值振幅，以产生一致的类经典非确定性概念？
• RQ3 有限域、p进数与热带半环上的量子理论具有怎样的结构性质与计算性质？
• RQ4 能否系统地使用层论方法分析这些理论中的上下文性与非定域性？
• RQ5 在何种条件下，这些理论能高效求解隐子群问题等难题？

主要发现

• 范畴 $ S\text{-Mat} $ 推广了 $ \mathbb{C}\text{-Mat} $，构成一个具有克罗内克积作为张量积、共轭转置作为 dagger 的典范紧范畴。
• 当 $ S = \mathbb{F}_{p^n}(\sqrt{\epsilon}) $ 时，$ \mathrm{CP}^* [S\text{-Mat}] $ 中非零纯标量的数量恰好为 $ p^n - 1 $，相位构成循环群 $ \mathbb{Z}_{p^n+1} $。
• $ \mathrm{CP}^* [S\text{-Mat}] $ 对任意交换自反半环 $ S $ 均为 $ R $-概率理论，其中 $ R $ 为 $ S $ 的正元素半环，从而确保量子与经典接口的一致性。
• 在具有平凡对合的热带量子理论中，正元素（平方）对加法封闭，由于‘初学者的梦’恒等式 $ (x+y)^2 = x^2 + y^2 $，形成子半环。
• 对于 $ \mathbb{F}_{p^n}(\sqrt{\epsilon}) $，隐子群问题可高效求解当且仅当 $ p^n + 1 $ 可被子群阶整除，原因在于存在足够多的酉特征标。
• 当 $ p^n + 1 $ 为无平方因子且为不同素数的乘积时，不存在非平凡的广义梅明类型上下文性论证，因为相位门群可分解为具有足够特征标的循环群的乘积。