[论文解读] Farthest point problem and M-compact sets

‎Debmalya Sain, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过M-紧性，提供了一个初等证明，表明在有限维严格凸赋范线性空间中，每个唯一远点集都是单点集，从而推广并加强了远点问题的现有结果。证明表明，若一个集合是唯一远点集且M-紧，则其导集也是唯一远点集且M-紧；若导集是紧的，则原集合必为单点集。

ABSTRACT

In this paper we give an elementary proof of the fact that every uniquely remotal set is singleton in a finite dimensional strictly convex normed linear space. We show that if A is a uniquely remotal M-compact subset with the derived set of A non-empty then the derived set of A is M-compact and uniquely remotal. We also show that if A is a uniquely remotal M-compact set and the derived set of A is compact then A is singleton.

研究动机与目标

• 提供一个简化的初等证明，表明在有限维严格凸赋范线性空间中，每个唯一远点集都是单点集。
• 研究M-紧性在远点问题（FPP）中的作用及其在赋范线性空间度量几何中的影响。
• 证明唯一远点M-紧集的导集也是唯一远点且M-紧。
• 证明若一个唯一远点M-紧集的导集是紧的，则该集合必为单点集。
• 探讨严格凸空间中唯一远点集的M-紧性与闭包性质之间的关系。

提出的方法

• 利用M-紧性的概念，即集合中每个最大值序列都收敛于集合内的极限点。
• 应用严格凸性，通过三角不等式和范数的严格性，证明若某点在集合闭包中的远点不唯一，则产生矛盾。
• 在导集 $A'$ 中使用序列，构造 $A$ 中的最大值序列，并利用M-紧性确保其收敛。
• 利用 $D(x,A) = D(x,\bar{A})$ 的事实，将 $A$ 与其闭包 $\bar{A}$ 中的远距离联系起来，并证明若 $A$ 是唯一远点集，则 $\bar{A}$ 也是唯一远点集。
• 应用Klee的结果：在巴拿赫空间中，紧致的唯一远点集必为单点集，将其应用于被证明为紧致且唯一远点集的远点集 $Far(A)$。
• 结合 $Far(A)$ 的M-紧性与闭包及唯一性论证，得出当 $A'$ 为紧集时，$A$ 必为单点集的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限维严格凸赋范线性空间中，每个唯一远点集是否必为单点集？
• RQ2 唯一远点集的M-紧性是否意味着其导集也是唯一远点且M-紧？
• RQ3 在何种条件下，导集 $A'$ 的紧性可推出原集合 $A$ 为单点集？
• RQ4 在一般赋范线性空间中，唯一远点集的闭包是否总是唯一远点集？
• RQ5 M-紧性与赋范线性空间中远点唯一性之间存在何种关系？

主要发现

• 在有限维严格凸赋范线性空间中，每个唯一远点集都是单点集，本文提供了新的初等证明。
• 若 $A$ 是严格凸赋范线性空间中一个唯一远点且M-紧的子集，则 $\overline{A}$ 也是唯一远点集。
• 对于一个唯一远点M-紧集 $A$ 且 $A' \neq \emptyset$，其导集 $A'$ 既是唯一远点集也是M-紧集。
• 若 $A$ 是唯一远点且M-紧集，且 $A'$ 是紧集，则 $A$ 必为单点集。
• 当 $A$ 是唯一远点且M-紧集时，$A$ 的所有远点集合 $Far(A)$ 也是M-紧且唯一远点集。
• 在严格凸空间中，唯一远点集的闭包是唯一远点集，但在一般赋范线性空间中该结论不成立。