[论文解读] Fast Algorithm for Finding Unicast Capacity of Linear Deterministic Wireless Relay Networks

Cuizhu Shi, Aditya Ramamoorthy|ArXiv.org|Sep 30, 2009

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文提出了一种快速算法，通过使用改进的深度优先搜索（MDFS）技术，计算线性确定性无线中继网络中的单播容量，即通过寻找线性无关路径的最大数量。该方法在每一步都确保线性无关性，计算复杂度为 $O(|\mathcal{V}_x|\cdot C^4 + d\cdot|\mathcal{V}_x|\cdot C^3)$，显著优于先前的方法，并提供了一种在中继节点使用一位线性编码的容量达到型传输策略。

ABSTRACT

The deterministic channel model for wireless relay networks proposed by Avestimehr, Diggavi and Tse `07 has captured the broadcast and inference nature of wireless communications and has been widely used in approximating the capacity of wireless relay networks. The authors generalized the max-flow min-cut theorem to the linear deterministic wireless relay networks and characterized the unicast capacity of such deterministic network as the minimum rank of all the binary adjacency matrices describing source-destination cuts whose number grows exponentially with the size of the network. In this paper, we developed a fast algorithm for finding the unicast capacity of a linear deterministic wireless relay network by finding the maximum number of linearly independent paths using the idea of path augmentation. We developed a modified depth-first search algorithm tailored for the linear deterministic relay networks for finding linearly independent paths whose total number proved to equal the unicast capacity of the underlying network. The result of our algorithm suggests a capacity-achieving transmission strategy with one-bit length linear encoding at the relay nodes in the concerned linear deterministic wireless relay network. The correctness of our algorithm for universal cases is given by our proof in the paper. Moreover, our algorithm has a computational complexity bounded by $O(|{\cal{V}}_x|\cdot C^4+d\cdot |{\cal{V}}_x|\cdot C^3)$ which shows a significant improvement over the previous results for solving the same problem by Amaudruz and Fragouli (whose complexity is bounded by $O(M\cdot |{\cal{E}}|\cdot C^5)$ with $M\geq d$ and $|{\cal{E}}|\geq|{\cal{V}}_x|$) and by Yazdi and Savari (whose complexity is bounded by $O(L^8\cdot M^{12}\cdot h_0^3+L\cdot M^6\cdot C\cdot h_0^4)$ with $h_0\geq C$).

研究动机与目标

• 开发一种多项式时间算法，用于计算线性确定性无线中继网络中的单播容量。
• 克服对所有源-目的地割集进行穷举搜索所导致的指数级复杂度。
• 提供一种使用中继节点一位线性编码的容量达到型传输策略。
• 与Amaudruz和Fragouli，以及Yazdi和Savari的现有算法相比，降低计算复杂度。
• 基于路径增广和分层网络拓扑中的线性无关性，建立一种可证明正确且高效的算法。

提出的方法

• 该算法使用改进的深度优先搜索（MDFS），迭代地在网路中寻找线性无关的源-目的地路径。
• 在每次迭代中，MDFS确保所用边集保持满秩，从而维持路径集合的线性无关性。
• 通过在 $GF(2)$ 上使用高斯消去法计算集合 $\mathcal{V}_{x\text{span}}^{x_j}$，识别出其边贡献可被替换而不损失无关性的节点。
• 函数 Span$(x_j)$ 在每次迭代中以 $O(k^3)$ 时间计算 $\mathcal{V}_{x\text{span}}^{x_j}$，其中 $k$ 为迄今找到的路径数量。
• 算法在每个层割 $i$ 上维护边集 $\mathcal{E}_u^i$、$\mathcal{V}_{xu}^i$ 和 $\mathcal{V}_{yu}^i$，并在路径搜索过程中动态更新它们。
• 当无法再找到新的线性无关路径时，路径增广过程停止，此时返回的路径数量即为单播容量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线性确定性无线中继网络中，计算单播容量的计算复杂度是多少？
• RQ2 基于路径增广的算法能否高效计算此类网络中线性无关路径的最大数量？
• RQ3 在分层网络结构中，如何在路径发现过程中保持并验证路径的线性无关性？
• RQ4 与Amaudruz和Fragouli，或Yazdi和Savari的算法相比，复杂度有何改进？
• RQ5 该算法是否能生成一种使用最小编码在中继节点上的容量达到型传输策略？

主要发现

• 所提出的算法将单播容量计算为通过MDFS找到的线性无关路径的数量，该数量等于所有源-目的地割邻接矩阵的最小秩。
• 计算复杂度被限制在 $O(|\mathcal{V}_x|\cdot C^4 + d\cdot|\mathcal{V}_x|\cdot C^3)$ 之内，相较于先前方法有显著改进。
• 该算法对所有通用情况均保证正确性，并在论文中提供了形式化证明。
• 路径查找过程确保每条新路径与先前找到的路径保持线性无关，通过边集的秩检查进行验证。
• 该算法生成一种仅使用一位线性编码于中继节点的容量达到型传输策略。
• 使用 Span$(x_j)$ 和 FindIndPaths 函数可高效计算替代路径，减少冗余探索。