[论文解读] Fast Algorithms for Max Independent Set in Graphs of Small Average Degree

Nicolas Bourgeois, Bruno Escoffier+2 more|ArXiv.org|Jan 12, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文针对平均度数较小（≤6）的图提出了更快的精确最大独立集算法，采用精细化的规约规则与一种新颖的‘自底向上’复杂度转移方法。在时间复杂度上取得了目前最优的结果：平均度数≤3时为O*(1.0854ⁿ)，≤4时为O*(1.1571ⁿ)，≤5时为O*(1.1969ⁿ)，≤6时为O*(1.2149ⁿ)，在平均度数与最大度数约束下均优于以往成果。

ABSTRACT

Max Independent Set (MIS) is a paradigmatic problem in theoretical computer science and numerous studies tackle its resolution by exact algorithms with non-trivial worst-case complexity. The best such complexity is, to our knowledge, the $O^*(1.1889^n)$ algorithm claimed by J.M. Robson (T.R. 1251-01, LaBRI, Univ. Bordeaux I, 2001) in his unpublished technical report. We also quote the $O^*(1.2210^n)$ algorithm by Fomin and al. (in Proc. SODA'06, pages 18-25, 2006), that is the best published result about MIS. In this paper we settle MIS in (connected) graphs with "small" average degree, more precisely with average degree at most 3, 4, 5 and 6. Dealing with graphs of average degree at most 3, the best bound known is the recent $O^*(1.0977^n)$ bound by N. Bourgeois and al. in Proc. IWPEC'08, pages 55-65, 2008). Here we improve this result down to $O^*(1.0854^n)$ by proposing finer and more powerful reduction rules. We then propose a generic method showing how improvement of the worst-case complexity for MIS in graphs of average degree $d$ entails improvement of it in any graph of average degree greater than $d$ and, based upon it, we tackle MIS in graphs of average degree 4, 5 and 6. For MIS in graphs with average degree 4, we provide an upper complexity bound of $O^*(1.1571^n)$ that outperforms the best known bound of $O^*(1.1713^n)$ by R. Beigel (Proc. SODA'99, pages 856-857, 1999). For MIS in graphs of average degree at most 5 and 6, we provide bounds of $O^*(1.1969^n)$ and $O^*(1.2149^n)$, respectively, that improve upon the corresponding bounds of $O^*(1.2023^n)$ and $O^*(1.2172^n)$ in graphs of maximum degree 5 and 6 by (Fomin et al., 2006).

研究动机与目标

• 改进平均度数较小的图上最大独立集问题的最坏情况时间复杂度。
• 提出一种通用方法，将低平均度数图上的复杂度改进结果转移至更高平均度数图上。
• 在稀疏图情形下，超越最大度数为3、4、5和6的图的现有时间复杂度界限。
• 针对平均度数≤3的图，进一步优化规约规则，以获得更紧致的时间复杂度界限。

提出的方法

• 提出更精细且更强的规约规则，以提升平均度数不超过3的图的时间复杂度。
• 引入一种‘自底向上’方法，利用参数化递推形式，将平均度数为d的图的复杂度界限推广至平均度数大于d的图。
• 基于顶点与边的规约构建递推关系，时间复杂度表示为O*(αⁿ)，其中α为特征方程的最大根。
• 采用参数化复杂度形式O*(γⁿ y^{m - (5/2 + εᵢ)n})，以建模递推过程中顶点与边规约之间的权衡。
• 通过利用低度数图的已知界限，系统性地推导出平均度数为4、5和6的图的时间复杂度界限。
• 通过组合分析与约束优化验证该方法，以界定分支步骤中至少需移除的边数下限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将平均度数≤3的图上最大独立集问题的最坏情况时间复杂度改进至O*(1.0977ⁿ)以下？
• RQ2 是否存在一种通用方法，可将平均度数为d的图上的复杂度改进结果推广至更高平均度数的图？
• RQ3 能否通过系统化的转移机制，改进平均度数为4、5和6的图上最大独立集的时间复杂度？
• RQ4 平均度数≤6的图上最大独立集问题的最紧致时间复杂度界限是什么？其与最大度数约束下的界限相比如何？

主要发现

• 本文在平均度数不超过3的图上，实现了O*(1.0854ⁿ)的时间复杂度，优于此前最优的O*(1.0977ⁿ)。
• 对于平均度数不超过4的图，本文建立了O*(1.1571ⁿ)的界限，优于此前最大度数为4时的O*(1.1713ⁿ)。
• 对于平均度数不超过5的图，界限为O*(1.1969ⁿ)，优于最大度数为5时的O*(1.2023ⁿ)。
• 对于平均度数不超过6的图，界限为O*(1.2149ⁿ)，优于最大度数为6时的O*(1.2172ⁿ)。
• 所提出的自底向上复杂度转移方法能够从低度数图推导出高度数图的界限，且在所有测试案例中均被证明有效。
• 结果表明，在稀疏图中，平均度数约束可带来比最大度数约束更紧致的时间复杂度界限。