[论文解读] Fast and Deterministic Approximations for $k$-Cut

Quanrud, Kent|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文提出了一种确定性、近乎线性时间（2 + ε）-近似算法，用于最小k-割问题，通过一种新颖的k-割LP松弛近似方案实现。通过结合近乎线性时间（1 + ε）-近似LP与基于最小生成森林和动态树的贪心割舍入过程，该算法实现了O(m log³n / ε²)的确定性时间复杂度，与先前方法的随机化效率相匹配，同时提供了接近2的紧致近似因子。

ABSTRACT

In an undirected graph, a k-cut is a set of edges whose removal breaks the graph into at least k connected components. The minimum weight k-cut can be computed in n^O(k) time, but when k is treated as part of the input, computing the minimum weight k-cut is NP-Hard [Goldschmidt and Hochbaum, 1994]. For poly(m,n,k)-time algorithms, the best possible approximation factor is essentially 2 under the small set expansion hypothesis [Manurangsi, 2017]. Saran and Vazirani [1995] showed that a (2 - 2/k)-approximately minimum weight k-cut can be computed via O(k) minimum cuts, which implies a O~(km) randomized running time via the nearly linear time randomized min-cut algorithm of Karger [2000]. Nagamochi and Kamidoi [2007] showed that a (2 - 2/k)-approximately minimum weight k-cut can be computed deterministically in O(mn + n^2 log n) time. These results prompt two basic questions. The first concerns the role of randomization. Is there a deterministic algorithm for 2-approximate k-cuts matching the randomized running time of O~(km)? The second question qualitatively compares minimum cut to 2-approximate minimum k-cut. Can 2-approximate k-cuts be computed as fast as the minimum cut - in O~(m) randomized time? We give a deterministic approximation algorithm that computes (2 + eps)-minimum k-cuts in O(m log^3 n / eps^2) time, via a (1 + eps)-approximation for an LP relaxation of k-cut.

研究动机与目标

• 通过实现近乎线性时间复杂度的确定性算法，弥合随机化与确定性算法在2-近似k-割问题上的差距。
• 回答2-近似k-割是否可以像最小割一样快速计算——具体而言，在Õ(m)时间内完成，通过消除对k的线性依赖。
• 为随机化k-割算法提供一种确定性替代方案，其运行时间与之相当，同时保持紧致的近似因子。
• 在2-近似k-割问题上，将最佳已知确定性时间复杂度O(mn + n² log n)改进为对所有k均实现近乎线性时间。

提出的方法

• 提出一种k-割的新LP松弛，最初由Naor和Rabani提出，可将k-割表示为整数解。
• 基于迭代舍入和动态树数据结构，开发一种近乎线性时间（1 + ε）-近似方案来求解该LP松弛。
• 采用贪心割舍入过程：首先选择满足xₑ ≥ (n−1)/(2n)的边，然后在剩余边上计算最小生成森林，并提取k−ℓ个最轻的贪心割。
• 利用动态树高效计算割权重，通过维护从叶节点到最近公共祖先（LCA）的路径值，实现在O(log n)时间内更新每条边。
• 借鉴Chekuri等人提出的对偶-对偶洞察，证明贪心割过程可实现2(1 − 1/n)-近似，再通过LP的ε-近似将结果收紧至(2 + ε)。
• 利用动态树在O(m log n)时间内实现舍入步骤，确保整体算法以O(m log³n / ε²)的确定性时间复杂度运行。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性算法，在Õ(m)时间内计算2-近似k-割，使其运行时间与最佳已知随机化算法相当？
• RQ2 确定性与随机化k-割算法之间的差距是否源于底层的最小割问题？能否通过一种近乎线性时间的确定性最小割算法来弥合这一差距？
• RQ3 能否通过LP松弛和高效舍入，在近乎线性时间内实现k-割的(2 + ε)-近似？
• RQ4 k-割的LP松弛是否允许一种近乎线性时间的(1 + ε)-近似方案，从而实现紧致的近似保证？
• RQ5 能否利用动态树在确定性近乎线性时间内高效实现基于贪心割的舍入技术？

主要发现

• 本文在O(m log³n / ε²)时间内实现了最小k-割的确定性(2 + ε)-近似，该时间复杂度近乎线性且与k无关。
• 该算法使用了一种新颖的(1 + ε)-近似方案来求解Naor-Rabani提出的k-割LP松弛，这是首个此类近乎线性时间方案。
• 基于最小生成森林的贪心割舍入过程可实现2(1 − 1/n)-近似，再通过LP的ε-近似将结果收紧至(2 + ε)。
• 舍入步骤的实现时间复杂度为O(m log n)，利用动态树实现，从而支持整体近乎线性时间复杂度。
• 该结果在时间复杂度上与Saran和Vazirani算法的随机化版本（Õ(km)）相当，但消除了对k的依赖，对所有k均实现Õ(m)时间复杂度。
• 在小集合扩张假设下，(2 + ε)-近似因子本质上是紧致的，因为若能突破2，则意味着P = NP。