[论文解读] Fast and efficient exact synthesis of single qubit unitaries generated by Clifford and T gates

Vadym Kliuchnikov, Dmitri Maslov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 55

一句话总结

本文提出了一种快速、精确的单量子比特酉矩阵综合算法，仅使用 Clifford 和 T 门，证明此类电路可精确实现环 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上的所有酉矩阵。该算法保证了 Hadamard 门和 T 门数量的最小化，在单量子比特情形下实现了门数和时间复杂度的最优性能。

ABSTRACT

In this paper, we show the equivalence of the set of unitaries computable by the circuits over the Clifford and T library and the set of unitaries over the ring $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}},i]$, in the single-qubit case. We report an efficient synthesis algorithm, with an exact optimality guarantee on the number of Hadamard and T gates used. We conjecture that the equivalence of the sets of unitaries implementable by circuits over the Clifford and T library and unitaries over the ring $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}},i]$ holds in the $n$-qubit case.

研究动机与目标

• 确定给定的单量子比特酉矩阵是否可仅使用 Clifford 和 T 门精确综合。
• 开发一种高效算法，为任意可精确综合的酉矩阵生成具有可证明最小 Hadamard 门和 T 门数量的电路。
• 在单量子比特情形下，建立通过 Clifford 和 T 门电路实现的酉矩阵集合与 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 环上酉矩阵集合之间的数学等价性。
• 为可精确综合的酉矩阵提供构造性电路规模上界。
• 探讨在存在辅助量子比特的情况下，将精确综合等价性扩展至 n 量子比特情形的可能性。

提出的方法

• 将单量子比特酉矩阵综合问题约化为在环 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上的状态制备问题。
• 利用两个关键引理，建立在 Clifford 和 T 门集合上可实现的酉矩阵的代数结构。
• 开发一种算法，将任意单量子比特酉矩阵分解为仅使用 H 门和 T 门的电路，并保证 H 门和 T 门数量的可证明最小性。
• 利用环 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 的结构特性，对所需门数进行有界控制并确保算法终止。
• 使用 GNU 多精度算术库处理综合与比较过程中的高精度算术运算。
• 采用包含优化门序列的查找表，其中每个电路中 Pauli-X 和 Pauli-Y 门的数量最多为三个。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个定义在环 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上的单量子比特酉矩阵都可仅使用 Clifford 和 T 门精确综合？
• RQ2 是否存在一种高效算法，能为任意可精确综合的酉矩阵生成具有最小 H 门和 T 门数量的电路？
• RQ3 环 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 的代数结构与通过 Clifford 和 T 门电路可实现的酉矩阵集合之间存在何种关系？
• RQ4 精确综合等价性是否可扩展至 n 量子比特情形？若可扩展，需满足何种条件？
• RQ5 该算法生成的门数是否不仅对 H 门和 T 门是最优的，也对其他门类型（如 Pauli-P（T²））是最优的？

主要发现

• 通过 Clifford 和 T 门电路可实现的单量子比特酉矩阵集合，恰好等于在环 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上的酉矩阵集合。
• 所提出的综合算法保证了结果电路中 Hadamard 门和 T 门数量的最小化，且在运行时间和门数上均具有渐近最优性。
• 该算法确保任意输出电路中使用的 Pauli-X 和 Pauli-Y 门数量最多为三个，体现出强大的结构效率。
• 实验表明，使用该方法对由 Solovay-Kitaev 算法生成的电路进行重综合，当使用 {H, T} 门库时，门数减少 10–20%；当使用 {H, T, P, Z} 门库时，门数减少 40–60%。
• 该算法可实现高达 $10^{-50}$ 的精度，显著优于 Dawson 的实现，后者在精度超过 $10^{-8}$ 时即无法收敛。
• 本文推测，当存在一个处于 $|0\rangle$ 态的辅助量子比特时，精确综合等价性可扩展至 n 量子比特情形，尽管该结论尚未得到证明。