[论文解读] Fast and Efficient Sparse 2D Discrete Fourier Transform using Sparse-Graph Codes

Frank Ong, Sameer Pawar+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 9被引用 11

一句话总结

该论文提出2D-FFAST，一种新型算法，利用稀疏图码、子采样、混叠和中国剩余定理计算稀疏二维离散傅里叶变换。当 $k/N \to 0$ 时，该算法对 $k$-稀疏信号实现 $O(k)$ 测量和 $O(k\log k)$ 计算时间，从而实现对图像等稀疏二维信号的快速、低复杂度恢复。

ABSTRACT

We present a novel algorithm, named the 2D-FFAST, to compute a sparse 2D-Discrete Fourier Transform (2D-DFT) featuring both low sample complexity and low computational complexity. The proposed algorithm is based on mixed concepts from signal processing (sub-sampling and aliasing), coding theory (sparse-graph codes) and number theory (Chinese-remainder-theorem) and generalizes the 1D-FFAST 2 algorithm recently proposed by Pawar and Ramchandran [1] to the 2D setting. Concretely, our proposed 2D-FFAST algorithm computes a k-sparse 2D-DFT, with a uniformly random support, of size N = Nx x Ny using O(k) noiseless spatial-domain measurements in O(k log k) computational time. Our results are attractive when the sparsity is sub-linear with respect to the signal dimension, that is, when k -> infinity and k/N -> 0. For the case when the spatial-domain measurements are corrupted by additive noise, our 2D-FFAST framework extends to a noise-robust version in sub-linear time of O(k log4 N ) using O(k log3 N ) measurements. Simulation results, on synthetic images as well as real-world magnetic resonance images, are provided in Section VII and demonstrate the empirical performance of the proposed 2D-FFAST algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算稀疏二维DFT的低复杂度算法，使其在计算和采样效率方面优于传统压缩感知方法。
• 通过子采样、混叠和稀疏图码，将1D-FFAST框架扩展至二维信号。
• 在保持1D-FFAST恢复保证的同时，将方法推广至具有互质与非互质维度的二维信号。
• 设计一种抗噪声变体，以适用于存在加性高斯噪声的实际应用。
• 通过合成和真实MRI数据的实证性能验证，证实理论假设。

提出的方法

• 该算法使用基于中国剩余定理的二维子采样策略，诱导混叠模式，进而在DFT域中形成稀疏图码。
• 每个子采样阶段产生一个混叠的二维DFT，将其视为稀疏图，其中非零DFT系数通过二分图结构连接至测量桶。
• 恢复过程采用类似剥洋葱的迭代算法，从混叠测量中解码稀疏DFT系数。
• 为增强抗噪声能力，每阶段引入 $O(\log N)$ 延迟链，将1D-FFAST的抗噪方法扩展至二维。
• 通过将信号维度 $N_x$ 和 $N_y$ 的互质分解，将二维支持恢复映射至1D-FFAST架构，从而实现理论恢复保证。
• 通过重标记方案将二维余数索引转换为单个整数，将二维二分图结构转化为类似一维的结构，以利于分析与解码。

实验结果

研究问题

• RQ1 1D-FFAST框架能否被推广至二维稀疏DFT，同时保持低采样和计算复杂度？
• RQ2 如何利用二维子采样与混叠，构建适合快速恢复的稀疏图码结构？
• RQ3 对于 $k$-稀疏二维信号，2D-FFAST算法在测量与计算复杂度方面的理论恢复性能如何？
• RQ4 如何使2D-FFAST框架在实际应用中对加性白高斯噪声具有鲁棒性？
• RQ5 考虑到其渐近与概率保证，2D-FFAST算法在真实世界成像数据（如MRI）中的适用程度如何？

主要发现

• 当 $k = o(N)$ 时，2D-FFAST算法使用 $O(k)$ 无噪声空间域测量，在 $O(k\log k)$ 计算时间内完成 $k$-稀疏二维DFT的计算。
• 对于有噪声测量，该算法使用 $O(k\log^3 N)$ 测量在 $O(k\log^4 N)$ 时间内实现恢复，保持次线性复杂度。
• 在非零DFT系数支持服从均匀随机模型的前提下，该算法在 $k$ 和 $N$ 较大时，以趋于1的概率成功恢复。
• 2D-FFAST框架在理论上通过将二维二分图结构映射至1D-FFAST架构而得到支撑，对 $\delta = 2/3$ 和一般 $\delta < 1$ 保持恢复保证。
• 在合成图像和真实MRI数据上的仿真结果证实了该算法的实证有效性，展示了在低采样率下快速且精确的重建能力。
• 该方法使成像系统中低功耗与快速重建至关重要的实际应用（如MRI和CT）实现实用的实时信号分析。