[论文解读] Fast and highly accurate computation of Chebyshev expansion coefficients of analytic functions

Haiyong Wang, Daan Huybrechs|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2014

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过复平面上的围线积分计算解析函数的切比雪夫展开系数，实现机器精度的相对误差。通过为每个系数优化围线半径，该方法即使在系数极小时也能确保高精度，从而实现高阶导数和导数的根的近似机器精度计算，且不会损失精度。

ABSTRACT

Chebyshev expansion coefficients can be computed efficiently by using the FFT, and for smooth functions the resulting approximation is close to optimal, with computations that are numerically stable. Given sufficiently accurate function samples, the Chebyshev expansion coefficients can be computed to machine precision accuracy. However, the accuracy is only with respect to absolute error, and this implies that very small expansion coefficients typically have very large relative error. Upon differentiating a Chebyshev expansion, this relative error in the small coefficients is magnified and accuracy may be lost, especially after repeated differentiation. At first sight, this seems unavoidable. Yet, in this paper, we focus on an alternative computation of Chebyshev expansion coefficients using contour integrals in the complex plane. The main result is that the coefficients can be computed with machine precision relative error, rather than absolute error. This implies that even very small coefficients can be computed with full floating point accuracy, even when they are themselves much smaller than machine precision. As a result, no accuracy is lost after differentiating the expansion, and even the 100th derivative of an analytic function can be computed with near machine precision accuracy using standard floating point arithmetic. In some cases, the contour integrals can be evaluated using the FFT, making the approach both highly accurate and fast.

研究动机与目标

• 解决标准基于FFT的切比雪夫系数计算中出现的精度损失问题，特别是针对小系数及其导数的情况。
• 开发一种方法，使系数计算的相对误差达到机器精度，而非绝对误差。
• 利用标准浮点数算术实现解析函数高阶导数的精确计算。
• 将谱方法的稳定性和精度扩展至光滑函数的高阶导数和根的求解。
• 提供一种框架，为每个系数选择最优围线半径，确保方法的鲁棒性与精确性。

提出的方法

• 该方法通过复平面上的围线积分计算切比雪夫展开系数，使用梯形法则进行数值积分。
• 对于每个系数 $ a_n $，选择最优半径 $ \rho^*(n) $ 以最小化相对误差，从而即使在系数极小时也能确保高精度。
• 围线积分的公式允许在所有系数使用相同半径时应用FFT，保持计算效率。
• 当为每个系数使用最优半径时，该方法避免了在标准FFT方法中经微分后相对误差被放大的问题。
• 该方法利用复分析和柯西积分公式，类似于Bornemann对泰勒系数的方法，但将其适配至切比雪夫展开。
• 通过微分切比雪夫展开来计算函数的导数，利用系数的递推关系求解导数展开的系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以机器精度的相对误差而非绝对误差计算解析函数的切比雪夫展开系数？
• RQ2 为每个系数使用最优围线半径是否能显著提高高阶导数计算的精度？
• RQ3 在使用标准浮点数算术时，该方法能否对解析函数的第100阶导数实现高精度计算？
• RQ4 通过使用最优半径的系数计算，能否准确求解高阶导数的根？
• RQ5 如何高效且自动地确定每个系数的最优半径？

主要发现

• 所提出的方法即使在系数远小于机器精度时，也能以机器精度的相对误差计算切比雪夫系数。
• 利用标准浮点数算术，高阶导数（包括第100阶导数）可实现接近机器精度的计算精度。
• 为每个系数 $ a_n $ 使用最优半径 $ \rho^*(n) $ 可确保相对误差保持较小，避免在微分过程中被放大。
• 数值实验表明，为每个系数使用其自身的最优半径，相比对所有系数使用固定半径，能显著降低导数根的计算误差。
• 当所有系数使用相同半径时，该方法保持计算效率，支持基于FFT的加速。
• 该方法能够通过精确计算导数展开的系数，实现高阶导数的精确根求解，例如极大值点和拐点。