[论文解读] Fast and rigorous arbitrary-precision computation of Gauss-Legendre quadrature nodes and weights

Fredrik Johansson, Marc Mezzarobba|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Numerical Methods and Algorithms参考文献 14被引用 16

一句话总结

本文提出了一种快速、严格且任意精度的算法，用于通过超几何级数展开、矩形拆分和区间牛顿迭代计算高斯-勒让德求积节点与权重。该方法相较以往方法实现了数量级的速度提升，使得在单核处理器上仅需数秒至数分钟即可完成高精度求积规则（例如1,000–10,000位）的实际计算。

ABSTRACT

We describe a strategy for rigorous arbitrary-precision evaluation of Legendre polynomials on the unit interval and its application in the generation of Gauss-Legendre quadrature rules. Our focus is on making the evaluation practical for a wide range of realistic parameters, corresponding to the requirements of numerical integration to an accuracy of about 100 to 100 000 bits. Our algorithm combines the summation by rectangular splitting of several types of expansions in terms of hypergeometric series with a fixed-point implementation of Bonnet's three-term recurrence relation. We then compute rigorous enclosures of the Gauss-Legendre nodes and weights using the interval Newton method. We provide rigorous error bounds for all steps of the algorithm. The approach is validated by an implementation in the Arb library, which achieves order-of-magnitude speedups over previous code for computing Gauss-Legendre rules with simultaneous high degree and precision.

研究动机与目标

• 为实现高斯-勒让德求积规则在任意精度下的实际计算，特别是满足需要100至100,000位精度的应用需求。
• 克服现有方法在勒让德多项式次数 $ n $ 上时间复杂度达二次或更高的计算瓶颈。
• 为计算全过程（包括多项式求值、根求解和权重计算）提供严格误差界。
• 开发一种既高效又可证明正确的算法，适用于计算机代数和实验数学中的高精度数值积分。

提出的方法

• 该算法使用矩形拆分技术，在单位区间上求和勒让德多项式的超几何级数展开，从而实现任意精度下高效且精确的求值。
• 结合定点算术与邦内特的三系数递推关系，以实现对勒让德多项式及其导数的严格误差控制计算。
• 使用区间牛顿法计算勒让德多项式的根，该方法可提供节点的严格包含区间并保证收敛性。
• 权重通过标准公式 $ w_i = rac{2}{(1 - x_i^2)(P_n'(x_i))^2} $ 从节点计算得出，所有步骤中的误差界均被严格传播。
• 该方法在Arb库中实现，利用其任意精度区间算术和快速算术原语。
• 通过使用渐近展开和优化求和技术，避免了经典方法的 $ ilde{O}(n^2) $ 复杂度，实现了接近最优的位复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖启发式误差估计的前提下，高效且严格地计算任意精度水平（如1000–10,000位）下的高斯-勒让德求积节点与权重？
• RQ2 是否能够通过渐近展开和快速求和技术，在高精度勒让德多项式求值与根求解中实现 $ n $ 的亚二次时间复杂度？
• RQ3 是否可以在整个计算流程中（从多项式求值到根与权重计算）始终保持严格误差界，以支持验证性数值积分？
• RQ4 在高精度下，该方法与其它求积方案（如克伦肖-柯蒂斯法、双指数法）相比，在初始化开销和每次求值效率方面表现如何？

主要发现

• 该算法在单核处理器上可在1–2秒内计算出1,000位精度的高斯-勒让德求积规则，在10–20分钟内完成10,000位精度规则，相较以往方法有显著提速。
• 该方法实现了准最优的位复杂度，与克伦肖-柯蒂斯法和双指数法相比，仅在对数因子上存在差异，尽管高斯-勒让德节点并非嵌套结构。
• 通过使用矩形拆分和定点递推，实现了对勒让德多项式及其导数在任意精度下的快速且严格求值。
• 区间牛顿法成功实现了对根的严格包含区间计算，并保证收敛性，即使在 $ n $ 较大时亦成立，且误差界在整个计算流程中被严格传播。
• 该算法具有高度可并行性，因为所有根均可独立计算，因此适用于多核或分布式执行环境。
• Arb库中的实现表明，高精度高斯-勒让德求积已不再因成本过高而难以在需要数千位精度的应用中实际使用。