[论文解读] Fast and Simple Edge-Coloring Algorithms

Corwin Sinnamon, Rotenberg, Eva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新的确定性和随机化边着色算法，适用于简单图，时间复杂度为 O(|E|√|V|)，优于之前已知的最佳时间复杂度 O(|E|√|V| log |V|)。该方法基于 αβ-路径和风扇激活的递归策略，使用 d+1 种颜色对边进行着色，其中 d 为最大顶点度数，通过引入随机化来简化实现，同时不牺牲渐近时间性能。

ABSTRACT

We develop sequential algorithms for constructing edge-colorings of graphs and multigraphs efficiently and using few colors. Our primary focus is edge-coloring arbitrary simple graphs using $d+1$ colors, where $d$ is the largest vertex degree in the graph. Vizing's Theorem states that every simple graph can be edge-colored using $d+1$ colors. Although some graphs can be edge-colored using only $d$ colors, it is NP-hard to recognize graphs of this type [Holyer, 1981]. So using $d+1$ colors is a natural goal. Efficient techniques for $(d+1)$-edge-coloring were developed by Gabow, Nishizeki, Kariv, Leven, and Terada in 1985, and independently by Arjomandi in 1982, leading to algorithms that run in $O(|E| \sqrt{|V| \log |V|})$ time. They have remained the fastest known algorithms for this task. We improve the runtime to $O(|E| \sqrt{|V|})$ with a small modification and careful analysis. We then develop a randomized version of the algorithm that is much simpler to implement and has the same asymptotic runtime, with very high probability. On the way to these results, we give a simple algorithm for $(2d-1)$-edge-coloring of multigraphs that runs in $O(|E|\log d)$ time. Underlying these algorithms is a general edge-coloring strategy which may lend itself to further applications.

研究动机与目标

• 开发更快且更简单的基于 d+1 种颜色的简单图边着色算法，如 Vizing 定理所保证的那样。
• 克服之前算法因复杂子程序导致额外 log|V| 因子而效率低下的问题。
• 通过用随机化替代确定性复杂过程，简化 d+1 边着色算法的实现。
• 建立一种适用于其他图类和边着色问题的一般递归边着色策略。

提出的方法

• 提出基于 αβ-路径和风扇结构（c-风扇与 u-风扇）的递归边着色策略，系统性地重着色边。
• 引入 Activate-Collection 过程，用于处理不相交的路径和风扇，确保每次激活至少能着色一条新边。
• 采用 Gabow 等人算法的改进版本，并通过更精细的分析消除了 √log|V| 因子，实现 O(|E|√|V|) 时间复杂度。
• 设计一种随机化变体 Random-Euler-Color，通过随机选择引导路径翻转，避免使用复杂子程序。
• 采用三阶段流程：Build-Collection 识别候选风扇，Activate-Collection 处理它们，Disconnect-Vertex 维护着色完整性。
• 应用一个关键引理，表明每从缺少颜色 α 的顶点集合中移除七个顶点，至少有一条边被着色。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将简单图 d+1 边着色算法的运行时间提升至 O(|E|√|V| log |V|) 以下？
• RQ2 能否设计一种随机化算法，在保持与确定性版本相同渐近时间复杂度的同时，实现显著更简单的实现？
• RQ3 是否存在一种通用的递归边着色策略，可适用于不同图类和边着色问题？
• RQ4 能否用随机化替代方案取代先前算法中使用的复杂子程序而不降低性能？

主要发现

• 确定性算法 Euler-Color 通过改进先前工作的分析并消除 √log|V| 因子，实现了 O(|E|√|V|) 时间复杂度。
• 随机化算法 Random-Euler-Color 以概率 1−e−poly(n) 在 O(|E|√|V|) 时间内运行，实现与确定性版本相同的渐近时间复杂度，但实现更简单。
• 主过程中使用的算法 Color-Many 在 O(|E|) 时间内着色 Ω(ℓ/d) 条边，其中 ℓ 为未着色边的数量。
• Activate-Collection 过程在 O(|E|) 时间内运行，且确保处理过程中不会遗漏任何 c-风扇或 u-风扇。
• 该方法证明，每从缺少特定颜色的顶点集合中移除七个顶点，至少有一条边被着色。
• 针对多重图的更简单 (2d−1)-边着色算法在 O(|E| log d) 时间内运行，展示了核心策略的通用性。