[论文解读] Fast and slow dynamics in a nonlinear elastic bar excited by longitudinal vibrations

Nicolas Favrie, Bruno Lombard+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Ultrasonics and Acoustic Wave Propagation参考文献 33被引用 30

一句话总结

该论文提出了一种双曲型偏微分方程模型，用于描述混凝土和岩石等非均质材料中快速非线性弹性与缓慢缺陷松弛动力学的耦合，采用一种新型非线性Zener粘弹性模型及时间域分裂格式。关键贡献在于构建了一个物理解释一致的双曲型公式，能够定量地再现实验观测到的动态声弹性测试中的软化/硬化行为。

ABSTRACT

Heterogeneous materials, such as rocks and concrete, have a complex dynamics including hysteresis, nonlinear elasticity and viscoelasticity. It is very sensitive to microstructural changes and damage. The goal of this paper is to propose a physical model describing the longitudinal vibrations of this class of material, and to develop a numerical strategy for solving the evolution equations. The theory relies on the coupling between two processes with radically-different time scales: a fast process at the frequency of the excitation, governed by nonlinear elasticity and viscoelasticity; a slow process, governed by the evolution of defects. The evolution equations are written as a nonlinear hyperbolic system with relaxation. A time-domain numerical scheme is developed, based on a splitting strategy. The numerical simulations show qualitative agreement with the features observed experimentally by Dynamic Acousto-Elastic Testing.

研究动机与目标

• 开发一种用于描述非均质材料中非线性弹性、粘弹性及缓慢松弛动力学的物理解释一致的模型。
• 通过重新表述平衡缺陷浓度，解决先前模型中缺陷浓度可能超过1的物理不一致性问题。
• 用非线性Zener模型替代Stokes粘弹性模型，以确保正确的双曲性并正确退化为线性弹性。
• 通过确保控制系统的双曲性和稳定性，实现受损介质中波传播的精确时间域模拟。
• 通过与动态声弹性测试中实验观测的声学软化和硬化行为进行对比，验证模型的有效性。

提出的方法

• 构建一个非线性双曲系统，通过松弛项耦合快速弹性响应与缓慢缺陷演化。
• 提出一种新型非线性Zener模型，其在小应变极限下退化为线性Zener模型，并在衰减消失时退化为纯非线性弹性。
• 在时间域采用分裂策略，将快速弹性动力学与缓慢缺陷松弛解耦，实现高效的时域积分。
• 基于声速表达式推导双曲性条件，确保特征值为实数，从而保证系统的适定性。
• 采用基于傅里叶的半解析解进行验证，通过在频率模态上使用矩形求积法进行数值评估。
• 通过依赖应力的平衡状态和缺陷生成与消除过程不同的松弛时间，定义缺陷浓度的演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个物理解释一致的模型，以同时描述非均质材料中快速非线性弹性与缓慢缺陷松弛动力学？
• RQ2 为确保缺陷浓度始终介于0和1之间，对现有模型需要进行哪些修改？
• RQ3 如何重新表述粘弹性模型，以保持双曲性并正确退化为非线性弹性？
• RQ4 在不同非线性弹性模型下，所得到的双曲系统在何种条件下仍保持适定性？
• RQ5 该模型在多大程度上能够再现动态声弹性测试中实验观测到的软化与硬化行为？

主要发现

• 所提出的非线性Zener模型确保了向线性弹性正确的退化，并在各种应变水平下保持双曲性。
• 模型2为无条件双曲，而模型3（Landau型）为条件双曲，其临界应变阈值 $ \varepsilon_c $ 取决于材料参数。
• 重新表述的平衡缺陷浓度可防止出现超过1的非物理解释值，显著提升了物理一致性。
• 数值模拟结果与实验动态声弹性测试结果定性一致，包括在激励停止后逐渐软化并恢复的现象。
• 时间域分裂格式实现了对包含快慢动力学的波传播的稳定且精确的模拟。
• 通过傅里叶变换和留数定理推导出的半解析解，为数值验证提供了基准，其具有显式的频域表达式。