[论文解读] Fast Approximate Construction of Best Complex Antipodal Spherical Codes

Miguel Heredia Conde, Otmar Loffeld|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 61被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种快速、线性复杂度的算法，用于构建最佳复数对偶球面码（BCASCs），通过用复数旋转的近似最近邻（ANN）搜索替代原始算法中的二次求和。该方法将计算成本从 O(m²n²K) 降低至 O(mn n_rot log(n n_rot))，从而实现了大规模压缩感知（CS）应用中BCASCs的高效生成，且相干性性能与先前方法相当或更优。

ABSTRACT

Compressive Sensing (CS) theory states that real-world signals can often be recovered from much fewer measurements than those suggested by the Shannon sampling theorem. Nevertheless, recoverability does not only depend on the signal, but also on the measurement scheme. The measurement matrix should behave as close as possible to an isometry for the signals of interest. Therefore the search for optimal CS measurement matrices of size $m imes n$ translates into the search for a set of $n$ $m$-dimensional vectors with minimal coherence. Best Complex Antipodal Spherical Codes (BCASCs) are known to be optimal in terms of coherence. An iterative algorithm for BCASC generation has been recently proposed that tightly approaches the theoretical lower bound on coherence. Unfortunately, the complexity of each iteration depends quadratically on $m$ and $n$. In this work we propose a modification of the algorithm that allows reducing the quadratic complexity to linear on both $m$ and $n$. Numerical evaluation showed that the proposed approach does not worsen the coherence of the resulting BCASCs. On the contrary, an improvement was observed for large $n$. The reduction of the computational complexity paves the way for using the BCASCs as CS measurement matrices in problems with large $n$. We evaluate the CS performance of the BCASCs for recovering sparse signals. The BCASCs are shown to outperform both complex random matrices and Fourier ensembles as CS measurement matrices, both in terms of coherence and sparse recovery performance, especially for low $m/n$, which is the case of interest in CS.

研究动机与目标

• 解决现有BCASC构造算法在m和n上均呈二次方增长的高计算复杂度问题。
• 实现大规模压缩感知问题中m和n较大时的BCASC生成。
• 开发一种近似方法，在显著降低运行时间的同时保持或提升相干性性能。
• 评估所生成BCASCs作为测量矩阵在稀疏信号恢复中的性能表现。
• 证明BCASCs在压缩感知中优于标准随机矩阵和傅里叶测量矩阵。

提出的方法

• 将原始算法中对所有复数旋转的完整求和，替换为在离散化旋转域上的近似最近邻（ANN）搜索。
• 对每个码字使用固定且较少的最近邻（NN）数量，以近似对所有旋转的积分，从而降低对n和m的依赖性。
• 通过ANN识别出最相关的旋转分量，仅使用这些分量在迭代过程中最小化相干性，逐个构建每个码字。
• 在迭代更新过程中保持对偶对称性与复向量约束。
• 将复数旋转域离散化为n_rot个步长，以近似连续旋转积分。
• 在迭代优化过程中对每个码字应用基于ANN的近似，将复杂度从 O(m²n²K) 降低至 O(mn n_rot log(n n_rot))。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不降低相干性的前提下，将BCASC构造的计算复杂度从对m和n的二次方降低为线性？
• RQ2 在复数旋转上使用近似最近邻搜索，是否能保持或改善与完整求和方法相比的码相干性？
• RQ3 所提出的方法能否生成此前因计算量过大而无法实现的大n和m值下的BCASCs？
• RQ4 所生成BCASCs在压缩感知恢复性能方面，与复数随机矩阵和傅里叶矩阵相比如何？
• RQ5 所生成码的相干性是否接近理论Welch界，特别是在n较大的情况下？

主要发现

• 所提方法将每次迭代的计算复杂度从 O(m²n²K) 降低至 O(mn n_rot log(n n_rot))，实现了对m和n的线性缩放。
• 所生成BCASCs的相干性与参考方法相当或更优，尤其在n较大时表现更佳。
• 当 δ = m/n = 0.5 时，所提BCASCs的相干性为 0.04424，优于高斯矩阵（0.08874）和傅里叶集合（0.06262）。
• 该方法对所用最近邻数量不敏感，仅需少量固定数量的NN即可实现高质量码的生成。
• 通过该方法生成的BCASCs达到接近理论复合界值的相干性，表明其近乎最优。
• 在稀疏信号恢复中，BCASCs显著优于复数随机矩阵和傅里叶集合，尤其在m/n比值较低时表现更优。