[论文解读] Fast Approximate Quadratic Programming for Large (Brain) Graph Matching

Joshua T Vogelstein, John M. Conroy+7 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2011

Graph Theory and Algorithms参考文献 40被引用 19

一句话总结

本文提出了一种用于大规模图匹配的快速近似二次分配（FAQ）算法，通过采用二次分配问题的不定松弛方法，在准确性和效率方面均表现出色。FAQ在QAPLIB基准测试的80%以上任务中优于当前最先进方法，并能有效匹配大型脑连接组，如秀丽隐杆线虫的连接组，展现出强大的可扩展性与理论依据。

ABSTRACT

Quadratic assignment problems (QAPs) arise in a wide variety of domains, ranging from operations research to graph theory to computer vision to neuroscience. In the age of big data, graph valued data is becoming more prominent, and with it, a desire to run algorithms on ever larger graphs. Because QAP is NP-hard, exact algorithms are intractable. Approximate algorithms necessarily employ an accuracy/efficiency trade-off. We developed a fast approximate quadratic assignment algorithm (FAQ). FAQ finds a local optima in (worst case) time cubic in the number of vertices, similar to other approximate QAP algorithms. We demonstrate empirically that our algorithm is faster and achieves a lower objective value on over 80% of the suite of QAP benchmarks, compared with the previous state-of-the-art. Applying the algorithms to our motivating example, matching C. elegans connectomes (brain-graphs), we find that FAQ achieves the optimal performance in record time, whereas none of the others even find the optimum.

研究动机与目标

• 为解决大规模图匹配中的可扩展性与准确性权衡问题，特别是脑连接组的匹配问题。
• 开发一种高效算法，用于求解图匹配问题（GMP），作为二次分配问题（QAP）的特例。
• 通过采用能更好保持解保真度的不定松弛方法，改进现有近似QAP求解器。
• 实现脑图的直接结构比较，超越图不变量，用于连接组学与神经疾病分析。
• 提供一种可扩展的开源解决方案，适用于神经科学与大数据领域的大规模图匹配。

提出的方法

• FAQ算法将图匹配问题松弛为不定二次优化问题，避免了先前方法中使用的凸松弛。
• 采用交替优化策略，迭代求解线性分配问题（LAP）以更新置换矩阵。
• 核心算法基于松弛目标函数（6），该函数为不定形式，并在随机图模型下具有可证明的正确性。
• 引入类似幂方法的更新机制，迭代优化置换估计，提升图邻接矩阵之间的对齐度。
• 该方法计算效率高，时间复杂度为O(n³)，且其LAP子程序易于并行化。
• 该算法具有通用性，可扩展以支持种子顶点、顶点属性及稀疏矩阵优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 与凸松弛相比，QAP的不定松弛是否能提供更优的近似解？
• RQ2 在标准QAP基准测试中，FAQ算法在准确率和速度上与现有最先进图匹配算法相比表现如何？
• RQ3 FAQ能否以高保真度和计算效率有效匹配大型脑连接组，如秀丽隐杆线虫的连接组？
• RQ4 在随机图模型下，不定松弛方法具有何种理论保证？
• RQ5 如何将FAQ扩展以应对现实世界中的挑战，如缺失顶点、边错误及异构图大小？

主要发现

• 在QAPLIB基准库超过80%的测试中，FAQ的目标值优于先前最先进方法。
• 该算法在速度和准确率上均优于现有方法，包括PATH及其他基于凸松弛的求解器。
• 在秀丽隐杆线虫连接组匹配任务中，FAQ高效实现了高质量匹配，展现出其在连接组学中的实用性。
• FAQ中采用的不定松弛方法在一般随机图模型下具有理论依据，被证明为正确方法，而凸松弛则不具备此优势。
• 外推分析表明，若在标准笔记本电脑上处理n=100,000规模的图，FAQ将耗时约20年，凸显进一步提升可扩展性的必要性。
• FAQ算法已集成至开源R包igraph中，MATLAB代码亦已公开，便于广泛采用。