[论文解读] Fast Bayesian Optimal Experimental Design for Seismic Source Inversion

Quan Long, Mohammad Motamed+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文通过利用拉普拉斯近似，将计算量巨大的信息增益双重循环期望简化为单重循环积分，提出了一种用于地震源反演的快速贝叶斯最优实验设计方法。该方法利用海森矩阵与观测时间及接收器数量成比例的特性，通过稀疏积分和有限差分法高效计算最优接收器布设与数量，已在二维问题上完成数值验证。

ABSTRACT

We develop a fast method for optimally designing experiments in the context of statistical seismic source inversion. In particular, we efficiently compute the optimal number and locations of the receivers or seismographs. The seismic source is modeled by a point moment tensor multiplied by a time-dependent function. The parameters include the source location, moment tensor components, and start time and frequency in the time function. The forward problem is modeled by elastodynamic wave equations. We show that the Hessian of the cost functional, which is usually defined as the square of the weighted L2 norm of the difference between the experimental data and the simulated data, is proportional to the measurement time and the number of receivers. Consequently, the posterior distribution of the parameters, in a Bayesian setting, concentrates around the "true" parameters, and we can employ Laplace approximation and speed up the estimation of the expected Kullback-Leibler divergence (expected information gain), the optimality criterion in the experimental design procedure. Since the source parameters span several magnitudes, we use a scaling matrix for efficient control of the condition number of the original Hessian matrix. We use a second-order accurate finite difference method to compute the Hessian matrix and either sparse quadrature or Monte Carlo sampling to carry out numerical integration. We demonstrate the efficiency, accuracy, and applicability of our method on a two-dimensional seismic source inversion problem.

研究动机与目标

• 为解决地震源反演中贝叶斯最优实验设计的高计算成本问题，其中重复的偏微分方程求解难以承受。
• 开发一种可扩展的方法，用于确定地震监测中地震仪的最优数量和空间配置。
• 通过拉普拉斯近似将双重循环蒙特卡洛积分简化为单重循环，实现对期望信息增益（作为最优性准则）的高效计算。
• 处理地震源参数（如矩张量、位置、时间函数）动态范围广泛所引发的参数缩放问题。
• 在包含真实波传播模型的二维地震源反演问题上验证该方法。

提出的方法

• 利用代价泛函的海森矩阵与接收器数量和观测时间成比例的特性，实现后验集中，从而支持有效的拉普拉斯近似。
• 在参数空间中应用缩放矩阵，以改善海森矩阵的条件数，确保在跨越多个数量级的参数间保持数值稳定性。
• 采用二阶有限差分法计算在最大 a posteriori (MAP) 估计点处的负对数后验的海森矩阵。
• 使用稀疏积分或蒙特卡洛采样，对参数空间中近似后的期望信息增益进行数值积分。
• 通过求解 $N_{\theta}+2$ 个前向问题（包括一个伴随问题）来计算重标度后的后验协方差矩阵，该矩阵进入信息增益近似。
• 推导出期望信息增益作为重标度后验协方差的函数，从而实现实验设计的高效优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉普拉斯近似能否有效应用于不可重复、时变的地震源反演问题，以加速最优实验设计？
• RQ2 代价泛函的海森矩阵如何随接收器数量和观测时长变化？该变化特性能否被用于提升计算效率？
• RQ3 参数量级差异对海森矩阵条件数有何影响？在贝叶斯实验设计中如何缓解此问题？
• RQ4 稀疏积分或蒙特卡洛采样在多大程度上可降低地震反演中估计期望信息增益的计算成本？
• RQ5 所提出的方法在识别二维地震源反演中最佳接收器配置方面的表现如何？

主要发现

• 代价泛函的海森矩阵与接收器数量和观测时间均成比例，导致后验集中，从而支持拉普拉斯近似的合理性。
• 随着接收器数量或记录时间的增加，后验分布会集中于真实参数附近，从而降低近似误差。
• 使用缩放矩阵能有效控制海森矩阵的条件数，提升数值稳定性并改善优化过程的收敛性。
• 该方法将双重循环的信息增益期望简化为单重循环积分，与标准蒙特卡洛估计器相比显著降低了计算成本。
• 在二维地震源反演问题上的数值结果证实了该方法的高效性、准确性及其在真实波传播模型中的适用性。
• 通过 $N_{\theta}+2$ 次前向求解可高效计算期望信息增益，使该方法可扩展至更高维参数空间。