[论文解读] Fast Computation of Partial Fourier Transforms

Lexing Ying, Sergey Fomel|ArXiv.org|Feb 12, 2008

Scientific Research and Discoveries参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出两种快速算法，用于计算一维和二维的偏傅里叶变换，通过多尺度分解求和区域，并对每个分量应用快速变换（一维使用分数阶FFT，二维使用蝴蝶算法）。一维算法为精确算法，时间复杂度为 $O(Nackepsilon^2 N)$；二维版本为近似但高精度算法，时间复杂度为 $O(N^2ackepsilon^2 N)$，相对于自由度数量实现近乎线性缩放。

ABSTRACT

We introduce two efficient algorithms for computing the partial Fourier transforms in one and two dimensions. Our study is motivated by the wave extrapolation procedure in reflection seismology. In both algorithms, the main idea is to decompose the summation domain of into simpler components in a multiscale way. Existing fast algorithms are then applied to each component to obtain optimal complexity. The algorithm in 1D is exact and takes $O(N\log^2 N)$ steps. Our solution in 2D is an approximate but accurate algorithm that takes $O(N^2 \log^2 N)$ steps. In both cases, the complexities are almost linear in terms of the degree of freedom. We provide numerical results on several test examples.

研究动机与目标

• 为解决一维和二维中具有求和约束的偏傅里叶变换的计算瓶颈，特别是在地震成像中的波场外推中。
• 开发时间复杂度接近自由度数量线性关系的算法，以克服直接计算带来的 $O(N^2)$ 和 $O(N^4)$ 成本。
• 实现对由 $c_x = N\lceil c^0(x/N)\rceil$ 定义的可变、平滑截断区域的傅里叶变换高效计算。
• 为反射地震学中的波场外推提供可扩展的解决方案，仅需处理传播波模态。

提出的方法

• 通过递归的多尺度划分，将一维中的求和区域 $D = \{(x,k) \mid k < c_x\}$ 或二维中的 $|k| < c_x$ 分解为二进制盒子。
• 在一维中对每个盒子应用分数阶傅里叶变换，利用其结构实现精确的 $O(N\backepsilon^2 N)$ 时间复杂度。
• 在二维中使用蝴蝶算法处理稀疏傅里叶变换，以高效处理不规则的求和区域。
• 将每个盒子中的核矩阵分解为对角部分与振荡部分，以实现快速矩阵-向量乘法。
• 构建分层分解结构，使靠近边界的盒子更精细，而内部的大盒子占主导地位，从而最小化总计算量。
• 确保所有盒子的并集精确覆盖求和区域 $D$，且远离边界曲线的盒子尺寸呈几何级数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一维中以低于 $O(N^2)$ 的复杂度计算具有可变求和限制的偏傅里叶变换？
• RQ2 尽管在高维下区域不规则，是否类似方法可在二维中实现近乎线性复杂度？
• RQ3 多尺度分解如何使现有快速变换算法得以应用？
• RQ4 在二维中近似偏傅里叶变换时，精度与效率之间的权衡如何？
• RQ5 所提方法是否可集成到地震成像中的波场外推工作流中，以降低计算成本？

主要发现

• 一维算法以 $O(N\backepsilon^2 N)$ 次操作实现精确计算，仅比标准FFT多出 $O(\backepsilon N)$ 的开销。
• 二维算法为近似但高精度算法，时间复杂度为 $O(N^2\backepsilon^2 N)$，与自由度数量近乎线性缩放。
• 数值结果表明，与直接计算相比，1D中 $N=2048$ 时速度提升超过100倍，与完整FFT相比提升达1000倍。
• 在具有真实地震速度模型的二维情形中，算法保持相对误差低于 $10^{-8}$，同时相比直接方法实现1000倍速度提升。
• 由于蝴蝶过程的常数因子较高，表明在实现中仍有优化空间。
• 该方法对不同平滑截断函数具有鲁棒性，并在 $N$ 增大时表现出良好的可扩展性，实验验证至 $N=2048$。