[论文解读] Fast computation of persistent homology representatives with involuted persistent homology

Matija Čufar, Žiga Virk|arXiv (Cornell University)|May 8, 2021

Topological and Geometric Data Analysis被引用 4

一句话总结

本文提出了一种高效算法，通过利用持久上同调加速同调循环的提取，实现持久同调代表元的计算。首先将余边界矩阵约化以识别关键单体，随后仅对相关列进行边界矩阵约化，该方法在Rips滤子中相比现有工具Eirene的运行速度最高提升17倍，同时保持了精确的代表循环。

ABSTRACT

Persistent homology is typically computed through persistent cohomology. While this generally improves the running time significantly, it does not facilitate extraction of homology representatives. The mentioned representatives are geometric manifestations of the corresponding holes and often carry desirable information. We propose a new method of extraction of persistent homology representatives using cohomology. In a nutshell, we first compute persistent cohomology and use the obtained information to significantly improve the running time of the direct persistent homology computations. This algorithm applied to Rips filtrations generally computes persistent homology representatives much faster than the standard methods.

研究动机与目标

• 为解决提取持久同调代表元过程中的计算瓶颈问题，这些代表元是表示拓扑孔洞的几何上有意义的循环。
• 通过在不牺牲性能的前提下实现循环提取，克服标准持久上同调仅产生上循环而非循环的局限性。
• 开发一种结合上同调约化速度与同调代表元几何实用性的方法。
• 在计算同调代表元的运行时间方面，超越现有工具如Eirene，适用于多样化数据集。

提出的方法

• 该算法首先通过约化余边界矩阵计算持久上同调，利用列约化识别死亡单体。
• 然后利用上同调约化结果，从边界矩阵中选取与代表循环相关的最小列子集。
• 将边界矩阵限制为仅包含这些选定列并进行约化，确保仅执行必要计算。
• 该两阶段方法——先进行上同调约化，再进行针对性边界约化——被称为“卷积同调”计算。
• 该方法利用Rips滤子的结构特性和矩阵稀疏性，最小化计算成本。
• 该算法在包括随机点、Celegans和Dragon在内的多样化数据集上，与标准同调约化、上同调约化及Eirene进行了实现与比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过利用持久上同调显著加快持久同调代表元的计算？
• RQ2 仅对相关列进行边界矩阵约化是否能保持同调代表元的正确性？
• RQ3 所提出的卷积同调方法在运行时间与可扩展性方面，相较于标准同调约化和Eirene的表现如何？
• RQ4 在何种场景下，卷积同调方法优于现有工具，特别是在高维或密集数据中？
• RQ5 矩阵稀疏性与滤子结构对所提方法效率的影响如何？

主要发现

• 在dragon1000和o3_1024等数据集上，卷积同调方法相比Eirene最高实现17倍的加速，且在大多数测试用例中均表现出一致改进。
• 在o3_1024数据集上，计算时间从Eirene的269.3秒减少至4.047秒，实现66倍加速。
• 在hiv数据集上，该方法耗时1.375秒（上同调）和3.336秒（卷积同调），而Eirene耗时6.696秒。
• 该方法的总运行时间始终接近已知快速的上同调约化，同时仍能生成精确的同调代表元。
• 该算法在Rips滤子中尤为高效，因为此时上同调约化远快于同调约化，从而实现显著性能提升。
• 唯一Eirene表现优于该方法的情况出现在random16的高维代表元中，表明存在一定的数据依赖性性能差异。