[论文解读] Fast decay of correlations of equilibrium states of open classes of non-uniformly expanding maps and potentials

Alexander Arbieto, Carlos Matheus|ArXiv.org|Mar 27, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 12

一句话总结

该论文建立了非一致膨胀映射在霍尔德连续小振幅势函数下平衡态的存在性、唯一性及相关性的指数衰减。通过鲁埃勒-佩龙-弗罗贝尼乌斯转移算子的谱分析及一类拉斯ota-约尔凯不等式，作者证明了对偶算子的特征测度是膨胀的，且对应的特征函数生成唯一具有快速混合性质的不变测度。

ABSTRACT

We study the existence, uniqueness and rate of decay of correlation of equilibrium measures associated to robust classes of non-uniformly expanding local diffeomorphisms and Hölder continuous potentials. The approach used in this paper is the spectral analysis of the Ruelle-Perron-Frobenius transfer operator. More precisely, we combine the expanding features of the eigenmeasures of the transfer operator with a Lasota-Yorke type inequality to prove the existence of an unique equilibrium measure with fast decay of correlations.

研究动机与目标

• 建立鲁棒类非一致膨胀映射在霍尔德连续势函数下平衡测度的存在性与唯一性。
• 分析这些平衡态的相关性衰减速率，特别是证明指数衰减。
• 通过克服有限马尔可夫划分的缺失，将热力学形式化拓展至非一致膨胀系统之外。
• 表明正的李雅普诺夫指数与双曲时间可推出强统计性质，如指数混合。
• 证明平衡测度具有随机稳定性，并满足大偏差原理。

提出的方法

• 使用与霍尔德连续势函数 $\phi$ 相关的鲁埃勒-佩龙-弗罗贝尼乌斯转移算子 $\mathcal{L}_\phi$。
• 对对偶算子 $\mathcal{L}_\phi^\star$ 应用谱分析，以识别特征测度 $\nu$。
• 通过证明 $\nu$-几乎处处点具有丰富的双曲时间，证明特征测度 $\nu$ 是膨胀的。
• 为 $\mathcal{L}_\phi$ 建立一类拉斯ota-约尔凯型不等式，以控制迭代的范数并确保谱间隙。
• 构造 $\mathcal{L}_\phi$ 的特征函数 $h$，并定义不变测度 $\mu = h\nu$，该测度关于 $\nu$ 绝对连续。
• 利用特征测度的遍历性与等价性，证明平衡测度 $\mu$ 的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非一致膨胀映射在霍尔德势函数下存在唯一的平衡测度？
• RQ2 在该非一致膨胀设定下，平衡态的相关性衰减速率如何？
• RQ3 如何利用转移算子的谱性质，在缺乏有限马尔可夫划分的条件下建立指数混合？
• RQ4 正的李雅普诺夫指数与双曲时间在多大程度上可推出如相关性指数衰减等强统计性质？
• RQ5 非一致膨胀映射的热力学形式化能否拓展至包含小振幅非恒定势函数？

主要发现

• 对于非一致膨胀映射的开类 $\mathcal{C}$ 中的任意 $f$，以及任意满足 $\max\phi - \min\phi$ 足够小的霍尔德连续势函数 $\phi$，存在唯一的平衡测度 $\mu$。
• 唯一的平衡测度 $\mu$ 具有正的李雅普诺夫指数，意味着在典型点处具有双曲性。
• 该测度表现出相关性的指数衰减，即相关性以快于任意多项式速率衰减。
• 平衡测度 $\mu$ 构造为 $\mu = h\nu$，其中 $\nu$ 是对偶转移算子 $\mathcal{L}_\phi^\star$ 的特征测度，$h$ 是 $\mathcal{L}_\phi$ 的正特征函数。
• 任何其他平衡测度 $\eta$ 必须满足 $\frac{1}{h}\eta \sim \nu$，并由遍历性可得 $\eta = \mu$，从而证明唯一性。
• 平衡测度满足罗赫林公式：$h_\mu(f) = \int \log J_\mu f \, d\mu$，在给定条件下确认了度量熵公式的有效性。