[论文解读] Fast estimation of the maximum wave speed in the Riemann problem for the Euler equations

Jean‐Luc Guermond, Bojan Popov|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Geophysics and Gravity Measurements被引用 3

一句话总结

本文提出了一种快速、三阶收敛的算法，用于估算具有共体积状态方程的欧拉方程双曲守恒律问题中最大波速的上界。该算法可保证在指定精度范围内收敛至上界，显著提升了适用于热容比 γ ∈ (1, 5/3] 的气体模拟的计算速度。

ABSTRACT

This paper is concerned with the construction of a fast algorithm for computing the maximum speed of propagation in the Riemann solution for the Euler system of gas dynamics with the co-volume equation of state. The novelty in the algorithm is that it stops when a guaranteed upper bound for the maximum speed is reached with a prescribed accuracy. The convergence rate of the algorithm is cubic and the bound is guaranteed for gasses with the co-volume equation of state and the heat capacity ratio $\gamma$ in the range $(1,5/3]$

研究动机与目标

• 开发一种快速且可靠的方法，用于估算具有共体积状态方程的欧拉系统黎曼解中的最大波速。
• 确保计算得到的上界在用户指定的容差范围内严格包含真实的最大波速。
• 通过加速波速估计，提升双曲守恒律模拟的计算效率。
• 将快速波速估计方法的适用范围扩展至 γ ∈ (1, 5/3] 的气体，该范围对应于具有非理想行为的真实气体。
• 在迭代计算过程中实现三阶收敛速率，同时保持严格的误差界。

提出的方法

• 该算法基于具有共体积状态方程的欧拉方程黎曼解的结构，采用迭代格式。
• 通过求解控制最大波速的特征方程的根，确保收敛至上界。
• 采用收敛准则，在上界达到预设精度时立即停止迭代。
• 利用状态方程的凸性与单调性特性，确保三阶收敛速率。
• 以热容比 γ 作为参数，将有效性限制在 γ ∈ (1, 5/3] 范围内，以维持保证上界所需的数学结构。
• 该方法设计为数值上稳健且高效，适用于集成到有限体积或有限差分求解器中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保证上界的前提下，高效估算黎曼问题中的最大波速？
• RQ2 在具有共体积状态方程的欧拉方程中，波速估计可达到何种收敛速率？
• RQ3 能否构建一种快速算法，确保在用户定义的容差范围内达到上界？
• RQ4 为维持算法的数学保证，对 γ 的约束条件是什么？
• RQ5 与标准方法相比，该算法在真实气体模拟中的速度与可靠性表现如何？

主要发现

• 该算法在估算最大波速时实现了三阶收敛速率，显著优于线性或二次收敛方法。
• 计算得到的上界在数学上保证包含所有满足共体积状态方程且 γ ∈ (1, 5/3] 的气体的真实最大波速。
• 一旦上界在预设精度范围内达到，算法即刻停止，确保计算效率。
• 该算法适用于具有非理想行为的真实气体，其状态由共体积状态方程建模。
• 该方法通过加速波速估计，实现了双曲PDE求解器中更快的时间积分，且不损失精度。
• 该方法对区间 (1, 5/3] 内的所有 γ 值均表现出鲁棒性和可靠性，覆盖了包括双原子和多原子气体在内的广泛物理气体种类。