[论文解读] Fast Exact Algorithms Using Hadamard Product of Polynomials

V. Arvind, Abhranil Chatterjee+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了两种参数复杂度中基本问题的快速精确算法：在算术电路中计数次数为k的多重线性单项式（(k,n)-MLC）和检测其存在性（k-MMD）。通过利用多项式之间的Hadamard积——特别是 f ◦ Sn,k 以提取次数为k的多重线性部分——作者实现了 (k,n)-MLC 的确定性 O*(n^{k/2 + c log k}) 时间算法，以及 k-MMD 的随机化 O*(4.32^k) 时间算法，两者均优于先前的界限，并达到了最佳已知的空间效率。

ABSTRACT

Let C be an arithmetic circuit of poly(n) size given as input that computes a polynomial f in F[X], where X={x_1,x_2,...,x_n} and F is any field where the field arithmetic can be performed efficiently. We obtain new algorithms for the following two problems first studied by Koutis and Williams [Ioannis Koutis, 2008; Ryan Williams, 2009; Ioannis Koutis and Ryan Williams, 2016]. - (k,n)-MLC: Compute the sum of the coefficients of all degree-k multilinear monomials in the polynomial f. - k-MMD: Test if there is a nonzero degree-k multilinear monomial in the polynomial f. Our algorithms are based on the fact that the Hadamard product f o S_{n,k}, is the degree-k multilinear part of f, where S_{n,k} is the k^{th} elementary symmetric polynomial. - For (k,n)-MLC problem, we give a deterministic algorithm of run time O^*(n^(k/2+c log k)) (where c is a constant), answering an open question of Koutis and Williams [Ioannis Koutis and Ryan Williams, 2016]. As corollaries, we show O^*(binom{n}{downarrow k/2})-time exact counting algorithms for several combinatorial problems: k-Tree, t-Dominating Set, m-Dimensional k-Matching. - For k-MMD problem, we give a randomized algorithm of run time 4.32^k * poly(n,k). Our algorithm uses only poly(n,k) space. This matches the run time of a recent algorithm [Cornelius Brand et al., 2018] for k-MMD which requires exponential (in k) space. Other results include fast deterministic algorithms for (k,n)-MLC and k-MMD problems for depth three circuits.

研究动机与目标

• 解决 Koutis 和 Williams 提出的关于改进算术电路中次数为k的多重线性单项式计数运行时间的开放问题。
• 开发 (k,n)-MLC 和 k-MMD 的高效精确算法，使其在时间复杂度上优于暴力搜索和先前方法。
• 将多项式的Hadamard积作为一种新颖的代数工具，用于在交换设置下高效提取多项式的多重线性部分。
• 为基本参数化问题实现具有改进时间与空间效率的确定性与随机化算法。
• 将该方法扩展至深度为三的电路，并推导出组合问题（如 k-Tree 和 t-Dominating Set）的改进计数算法。

提出的方法

• 核心技术使用 Hadamard 积 f ◦ Sn,k 来分离多项式 f 的次数为k的多重线性部分，其中 Sn,k 为第k个初等对称多项式。
• 该方法结合了对称化技巧与在非交换环上对矩形永久式高效计算的技巧，并将其适配到交换情形。
• 对于 (k,n)-MLC，算法利用对 f 的黑箱访问，并通过代数分支程序（ABPs）高效计算 Hadamard 积，实现 O*(n^{k/2 + c log k}) 时间复杂度。
• 对于 k-MMD，该方法采用 1.3k 种颜色的随机染色，并构建 ΠΣ 电路 Pi 以覆盖所有多重线性单项式，随后通过 Schwartz-Zippel 引理进行随机化 PIT 测试。
• 该算法对电路中的 X 和 Z 变量均进行对称化处理，专注于以特定长度为 0.3k 的 Z 字符串结尾的单项式，以隔离出彩色的多重线性项。
• 一个关键创新是使用 S_{1.3k, 0.3k} 扩展电路的次数，从而在保持多重线性结构的同时，实现高效计算 Hadamard 积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在显著低于 O*(n^k) 的时间内解决 (k,n)-MLC 问题，具体为 O*(n^{k/2 + c log k})？
• RQ2 能否设计出运行时间为 O*(4.32^k) 且仅使用多项式空间的随机化 k-MMD 算法，时间复杂度与近期的指数空间算法相当，但空间效率显著提升？
• RQ3 能否在交换设置下高效计算多项式的 Hadamard 积，以提取多重线性部分，从而实现更快的精确算法？
• RQ4 能否将该方法扩展至深度为三的电路，以获得 (k,n)-MLC 和 k-MMD 的更快算法？
• RQ5 能否将该方法应用于推导出 k-Tree 和 m-Dimensional k-Matching 等组合问题的改进精确计数算法？

主要发现

• (k,n)-MLC 问题存在一个确定性算法，其时间复杂度为 O*(n^{k/2 + c log k})，其中 c 为常数，解决了 Koutis 和 Williams 提出的开放问题。
• k-MMD 问题通过一个随机化算法解决，其时间复杂度为 O*(4.32^k)，空间复杂度为 poly(n,k)，时间复杂度与近期的指数空间算法相当，但空间效率显著提升。
• 该方法为 k-Tree、t-Dominating Set 和 m-Dimensional k-Matching 等问题提供了改进的精确计数算法，每项均在 O*(n^{k/2 + c log k}) 时间内运行。
• Hadamard 积技术成功地通过使用对称化和基于 ABP 的高效评估，被适配到交换设置中，从而实现了对多重线性部分的更快计算。
• 在随机化 k-MMD 过程中，每种染色的时间复杂度为 O*(2.46^k)，通过使用 1.3k 种颜色并仔细分析覆盖概率，最终优化为 O*(4.32^k)。
• 该方法首次为 (k,n)-MLC 提供了指数部分在 k 上为次二次的确定性算法，并可扩展至深度为三的电路，获得类似的效率提升。