[论文解读] Fast FPT algorithms for vertex subset and vertex partitioning problems using neighborhood unions

Binh-Minh Bui-Xuan, Jan Arne Telle+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文引入了布尔宽度（boolean-width）这一新的图参数，其基于图割处不同邻域并集的数量，提出了适用于一大类顶点子集与顶点划分问题的固定参数可满足性（FPT）算法。关键贡献在于，当给定最优分解时，运行时间在布尔宽度上呈单指数增长，显著优于使用秩宽或 clique-width 时的双指数依赖关系。此外，通过紧致的理论联系表明，布尔宽度至多为秩宽的平方根（对数因子内）。

ABSTRACT

We introduce the graph parameter boolean-width, related to the number of different unions of neighborhoods across a cut of a graph. Boolean-width is similar to rank-width, which is related to the number of $GF[2]$-sums (1+1=0) of neighborhoods instead of the boolean-sums (1+1=1) used for boolean-width. We give algorithms for a large class of NP-hard vertex subset and vertex partitioning problems that are FPT when parameterized by either boolean-width, rank-width or clique-width, with runtime single exponential in either parameter if given the pertinent optimal decomposition. To compare boolean-width versus rank-width or clique-width, we first show that for any graph, the square root of its boolean-width is never more than its rank-width. Next, we exhibit a class of graphs, the Hsu-grids, for which we can solve NP-hard problems in polynomial time, if we use the right parameter. An $n imes \frac{n}{10}$ Hsu-grid on ${1/10}n^2$ vertices has boolean-width $Θ(\log n)$ and rank-width $Θ(n)$. Moreover, any optimal rank-decomposition of such a graph will have boolean-width $Θ(n)$, i.e. exponential in the optimal boolean-width. A main open problem is to approximate the boolean-width better than what is given by the algorithm for rank-width [Hliněný and Oum, 2008]

研究动机与目标

• 通过引入新的图参数布尔宽度，为 NP-难的顶点子集与顶点划分问题设计更快速的 FPT 算法。
• 建立布尔宽度与秩宽、clique-width 之间的理论框架，证明布尔宽度始终不超过秩宽的平方根。
• 证明对于某些图族（如 Hsu-grid），布尔宽度可使原本 NP-难的问题在多项式时间内求解，而秩宽则无法实现。
• 解决布尔宽度高效近似这一开放问题，提出当前的秩宽近似算法可提供 2^{2*OPT} 的布尔宽度近似比。

提出的方法

• 将布尔宽度定义为图割处不同邻域并集数量的对数，用布尔加法（1+1=1）替代秩宽中使用的 GF[2] 加法（即 1+1=0）。
• 证明对任意图，其布尔宽度的平方根至多不超过其秩宽，从而确立了基本的上界。
• 在树分解上设计动态规划算法，利用邻域并集的结构求解支配、同态与着色等问题。
• 使用邻域等价类的规范表示以压缩状态空间，并确保递归子问题的正确性。
• 利用许多问题中 d-邻域等价类的数量受 1-邻域类数量的函数有界这一事实，实现高效的状态聚合。
• 将该算法应用于 Hsu-grid，证明当布尔宽度为 Θ(log n) 时可实现多项式时间解法，而秩宽为 Θ(n) 时运行时间为指数级。

实验结果

研究问题

• RQ1 若给定最优布尔宽度分解，布尔宽度能否用于设计顶点子集与划分问题的 FPT 算法，且运行时间为单指数？
• RQ2 布尔宽度在渐近界上与秩宽和 clique-width 的关系如何？
• RQ3 是否存在某些图族，使得布尔宽度可使 NP-难问题在多项式时间内求解，而秩宽无法实现？
• RQ4 是否存在多项式时间算法判断图的布尔宽度是否至多为 2，或是否存在布尔宽度为 k 的图的刻画？
• RQ5 布尔宽度能否比当前从秩宽分解导出的 2^{2*OPT} 近似比更高效地近似？

主要发现

• 布尔宽度至多为秩宽的平方根（低阶项内），表明其在渐近界上严格强于秩宽。
• 对于大小为 n²/10 的 Hsu-grid，布尔宽度为 Θ(log n)，而秩宽为 Θ(n)，表明两者之间存在超多项式差距。
• 当给定最优布尔宽度分解时，所提算法可在 O(n⁴ · 2^{3qd·βw²}) 时间内求解问题，其对布尔宽度的依赖为单指数。
• 对于 d=1 的问题（如 H-同态），运行时间可进一步优化为布尔宽度的线性指数，但需特殊处理。
• 当以布尔宽度为参数时，算法在 Hsu-grid 上的运行时间为输入大小的多项式时间，而以秩宽为参数时则为指数时间，凸显了布尔宽度的优势。
• 本文未解决的开放问题是：βw(G) ≤ ¼ rw(G)² + ⁵⁄₄ rw(G) + log rw(G) 的界是否在乘法常数意义下紧致，且提出高效计算布尔宽度的挑战。