[论文解读] Fast growth of the number of periodic points arising from heterodimensional connections

Masayuki Asaoka, Katsutoshi Shinohara+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文证明了，在满足过渡映射的非线性度与Schwarzian导数某些条件的前提下，靠近具有鲁棒异宿环的$C^r$-微分同胚的$C^r$-泛性微分同胚，其周期点数量表现出超指数增长。通过在中心方向通过小扰动构造$C^r$-平坦的首次返回映射，作者表明，即使在缺乏光滑中心叶状 foliation 的情况下，此类系统仍能突破指数增长的界限。

ABSTRACT

We consider C^r-diffeomorphisms of a compact smooth manifold having a pair of robust heterodimensional cycles where r is a positive integer or infinity. We prove that if certain conditions about the signatures of non-linearities and Schwarzian derivatives of the transition maps are satisfied, then by giving C^r arbitrarily small perturbation, we can produce a periodic point at which the first return map in the center direction is C^r-flat. As a consequence, we will prove that C^r-generic diffeomorphisms in the neighborhood of the initial diffeomorphism exhibit super-exponential growth of number of periodic points. We also give examples which show the necessity of the conditions on non-linearities and the Schwarzian derivatives.

研究动机与目标

• 研究在标准双曲性或光滑中心叶状 foliation 缺失的情况下，具有鲁棒异宿环的偏双曲微分同胚中周期点的增长率。
• 确定在何种正则性与动力学条件下，周期点的超指数增长可在$C^r$-拓扑下泛性出现。
• 阐明非线性度与Schwarzian导数条件在防止指数增长界限中的必要性。
• 将先前关于半群作用与斜积的结果推广至一般偏双曲微分同胚，无需依赖大的谱间隙假设。

提出的方法

• 基于中心方向的首次返回映射，引入异宿轨道的“符号”概念，以非线性度与Schwarzian导数作为关键不变量。
• 通过构造$C^r$-小扰动，使中心方向的首次返回映射变为$C^r$-平坦，从而实现周期点数量的无界增长。
• 通过避免大谱间隙，避免光滑中心叶状 foliation 的存在，使得一般偏双曲系统可在不化为斜积形式的前提下被分析。
• 在$C^r$-拓扑下应用泛性论证，表明当系统满足符号条件时，超指数增长在邻域内是典型的。
• 通过在$\mathbb{T}^3$上使用分段定义的中心映射的斜积微分同胚构造显式例子，以证明条件的必要性。
• 利用负Schwarzian导数与临界点的非平坦性作为工具，在某些情况下限制周期点的增长，与另一些情况下出现的超指数行为形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种非线性度与过渡映射的Schwarzian导数条件下，具有异宿环的微分同胚在$C^r$-扰动下，其周期点的超指数增长在$C^r$-泛性下成立？
• RQ2 即使在缺乏光滑中心叶状 foliation 或大谱间隙的情况下，$C^r$-泛性微分同胚是否仍可实现周期点的超指数增长？
• RQ3 异宿轨道符号条件——特别是非零非线性度与负Schwarzian导数——是否为防止指数增长界限所必需？
• RQ4 为何具有$C^2$-泛性超指数增长但$C^3$-有界增长的示例，说明了泛性结果中正则性阈值的精确性？

主要发现

• 在具有鲁棒异宿环的系统邻域内，若中心返回映射满足非线性度与Schwarzian导数条件，则$C^r$-泛性微分同胚中周期点数量表现出超指数增长。
• 通过小扰动在中心方向构造$C^r$-平坦的首次返回映射，足以触发超指数增长，即使在缺乏光滑中心叶状 foliation 的情况下亦然。
• 示例表明，若非线性度消失或Schwarzian导数非负，则增长速率最多为指数级，从而证明了条件的必要性。
• 在$C^2$-拓扑下，超指数增长可为泛性，但在$C^3$-拓扑下，相同系统可能仅表现出指数增长，表明在正则性阈值处存在尖锐转变。
• 该结果将先前关于半群作用与斜积的研究推广至一般偏双曲微分同胚，消除了对大谱间隙或法双曲纤维化等假设的依赖。
• 本文确立了，当中心动力学满足特定动力学条件时，超指数增长是具有异宿环的系统在$C^r$-拓扑下的泛性现象。