[论文解读] Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time

Santolo Leveque, John W. Pearson|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Matrix Theory and Algorithms参考文献 47被引用 11

一句话总结

本文提出了一种快速、鲁棒且最优的预处理迭代求解器，用于求解采用Crank–Nicolson时间半离散化的时变PDE约束最优控制问题。通过应用可逆变换使对称的鞍点系统对称化，并推导出一种新型预条件子，其具有最优的Schur补近似，该方法在热传导和对流-扩散控制问题中均实现了与网格无关且对参数鲁棒的收敛性。

ABSTRACT

In this article, we derive a new, fast, and robust preconditioned iterative solution strategy for the all-at-once solution of optimal control problems with time-dependent PDEs as constraints, including the heat equation and the non-steady convection--diffusion equation. After applying an optimize-then-discretize approach, one is faced with continuous first-order optimality conditions consisting of a coupled system of PDEs. As opposed to most work in preconditioning the resulting discretized systems, where a (first-order accurate) backward Euler method is used for the discretization of the time derivative, we employ a (second-order accurate) Crank--Nicolson method in time. We apply a carefully tailored invertible transformation for symmetrizing the matrix, and then derive an optimal preconditioner for the saddle-point system obtained. The key components of this preconditioner are an accurate mass matrix approximation, a good approximation of the Schur complement, and an appropriate multigrid process to apply this latter approximation---these are constructed using our work in transforming the matrix system. We prove the optimality of the approximation of the Schur complement through bounds on the eigenvalues, and test our solver against a widely-used preconditioner for the linear system arising from a backward Euler discretization. These demonstrate the effectiveness and robustness of our solver with respect to mesh-sizes, regularization parameter, and diffusion coefficient.

研究动机与目标

• 解决由具有二阶时间精度的时变PDE约束优化问题产生的大规模、全耦合系统求解挑战。
• 克服Crank–Nicolson半离散化系统预条件处理的数值困难，其复杂性高于后向欧拉格式。
• 开发一种预条件子，确保收敛性独立于网格尺寸、正则化参数和扩散系数。
• 通过特征值界提供Schur补近似最优性的理论依据。
• 在具有狄利克雷边界条件的热传导和对流-扩散控制问题上，验证求解器的有效性。

提出的方法

• 采用先优化后离散化方法，推导时变PDE的首阶最优性条件。
• 在时间方向采用Crank–Nicolson半离散化以实现二阶精度，从而在保持相近误差水平的前提下减少所需时间步数。
• 应用可逆线性变换使所得的鞍点矩阵系统对称化，从而可使用MINRES求解器。
• 基于鞍点理论构造一种新型预条件子，采用精确的质量矩阵近似和多网格增强的Schur补近似。
• 推导预处理系统特征值的理论界，以证明其在网格尺寸、正则化参数和扩散系数方面的最优性。
• 使用预处理MINRES实现求解器，收敛精度容忍度为$10^{-6}$，在不同空间网格尺寸和参数值下进行测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Crank–Nicolson半离散化的时变PDE约束最优控制问题设计一种预处理迭代求解器，使其在所有参数下均保持鲁棒性？
• RQ2 所提出的预条件子是否确保收敛性独立于网格尺寸、正则化参数和扩散系数？
• RQ3 能否通过特征值界证明预条件子中Schur补近似的最优性？
• RQ4 与广泛使用的基于后向欧拉格式的求解器相比，基于Crank–Nicolson的新求解器在迭代次数和鲁棒性方面表现如何？
• RQ5 对称化变换是否有效，使得可对所得的鞍点系统使用对称迭代求解器（如MINRES）？

主要发现

• 所提出的预条件子在所有测试配置下均不超过27次迭代收敛，表明其对网格尺寸、正则化参数$\beta$和扩散系数$\epsilon$具有鲁棒性。
• 当$\beta = 10^{-5}$或$10^{-6}$时，迭代次数减少，因为Schur补在谱上更接近质量矩阵，从而简化了问题。
• MINRES的迭代次数独立于空间网格尺寸$h$、正则化参数$\beta$和扩散系数$\epsilon$，证实了参数鲁棒性。
• 理论特征值界证实Schur补近似是最优的，确保预条件子的尺度随矩阵维度线性增长。
• 数值结果表明，新求解器在迭代次数稳定性与鲁棒性方面优于广泛使用的基于后向欧拉格式的预条件子。
• 该方法在高佩克莱特数的对流-扩散问题中仍保持高效率，而标准方法通常在该类问题中表现困难。