[论文解读] Fast Mojette Transform for Discrete Tomography

Shekhar S. Chandra, Nicolas Normand+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2010

Digital Image Processing Techniques参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文提出了一种快速莫杰特变换（FMT），用于实现计算复杂度为 O(N² log N) 的精确、抗噪声离散层析成像。通过采用对称且最小的数字角度集合，并将投影数据解析映射至离散傅里叶空间，该方法实现了通过精确逆变换进行无伪影重建，同时通过冗余控制实现噪声抑制和实验可行性。

ABSTRACT

A new algorithm for reconstructing a two dimensional object from a set of one dimensional projected views is presented that is both computationally exact and experimentally practical. The algorithm has a computational complexity of O(n log2 n) with n = N^2 for an NxN image, is robust in the presence of noise and produces no artefacts in the reconstruction process, as is the case with conventional tomographic methods. The reconstruction process is approximation free because the object is assumed to be discrete and utilizes fully discrete Radon transforms. Noise in the projection data can be suppressed further by introducing redundancy in the reconstruction. The number of projections required for exact reconstruction and the response to noise can be controlled without comprising the digital nature of the algorithm. The digital projections are those of the Mojette Transform, a form of discrete linogram. A simple analytical mapping is developed that compacts these projections exactly into symmetric periodic slices within the Discrete Fourier Transform. A new digital angle set is constructed that allows the periodic slices to completely fill all of the objects Discrete Fourier space. Techniques are proposed to acquire these digital projections experimentally to enable fast and robust two dimensional reconstructions.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效且实验可行的精确离散层析成像重建方法。
• 通过在完全离散域中操作，消除传统连续Radon变换方法中常见的重建伪影。
• 通过在投影数据中引入受控冗余实现对噪声的容忍，同时不损害数字精确性。
• 设计一种对称且最小的数字角度集合，以支持基于FFT的快速反演算法。
• 为使用莫杰特变换框架在实验中获取数字投影提供实用框架。

提出的方法

• 基于互质整数对 (p, q) 提出一种新的数字角度集合，以定义离散投影方向，确保最小且对称的采样。
• 提出一种解析映射，将莫杰特投影紧凑地嵌入离散傅里叶变换（DFT）域的对称周期切片中。
• 利用离散傅里叶切片定理，通过逆FFT实现精确重建，实现 n = N² 时的 O(n log₂n) 复杂度，适用于 N×N 图像。
• 通过参数 k 控制投影数据中的冗余以抑制噪声并提高鲁棒性，k = 2 或 4 被证明为最优。
• 在 DFT 域中应用 ℓ₁- 或 ℓ₂-范数最小化，以进一步减少不一致投影数据中的噪声。
• 提出适用于实际部署的实验获取技术，包括优化的探测器几何结构和投影采样策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种离散层析成像重建方法，能够在保持精确性和无伪影的同时，兼具计算效率和实验可行性？
• RQ2 如何重构莫杰特变换，以实现快速、对称且最小的投影采样，从而支持高效反演？
• RQ3 何种解析映射可实现离散投影在DFT域中的精确压缩，而无需插值或近似？
• RQ4 投影集合中的冗余如何影响在存在测量误差时的噪声鲁棒性和重建质量？
• RQ5 何种实验配置和获取策略可使快速莫杰特变换在真实层析系统中具备可行性？

主要发现

• 快速莫杰特变换对 N×N 图像实现了 O(N² log N) 的计算复杂度，实现了低延迟的快速重建。
• 该方法可实现无伪影重建，因其在完全离散域中操作，并基于离散Radon变换使用精确逆变换。
• 通过参数 k 引入冗余以抑制投影数据中的噪声，k = 2 或 4 在降噪效果与计算速度之间提供了最佳平衡。
• 反演 FMT 在约 13 秒内即可从 6144 个投影重建出 4096×4096 的图像，证明了其实际可行性。
• 该解析映射实现了莫杰特投影在 DFT 空间中的精确嵌入，避免了插值并保持了数字精确性。
• 所提出的角度集合既支持计算效率（通过对称且最小的采样），又具备在固定或可变图像几何结构下的实验适应性。