[论文解读] Fast (Multi-)Evaluation of Linearly Recurrent Sequences: Improvements and Applications

Martin Ziegler|ArXiv.org|Nov 8, 2005

Numerical Methods and Algorithms参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了用于快速评估线性递推序列（单个及批量）的优化算法，利用多项式多点求值与快速矩阵运算。对于正交多项式评估，实现了统一的 $Ó(\sqrt{n} \cdot \log n)$ 复杂度；对于多点评估，复杂度为 $Ó(\sqrt{n} \cdot \log n + \ell \cdot \log(n/\ell))$，并应用于超几何函数与高次多项式系数计算。

ABSTRACT

For a linearly recurrent vector sequence P[n+1] = A(n) * P[n], consider the problem of calculating either the n-th term P[n] or L<=n arbitrary terms P[n_1],...,P[n_L], both for the case of constant coefficients A(n)=A and for a matrix A(n) with entries polynomial in n. We improve and extend known algorithms for this problem and present new applications for it. Specifically it turns out that for instance * any family (p_n) of classical orthogonal polynomials admits evaluation at given x within O(n^{1/2} log n) operations INDEPENDENT of the family (p_n) under consideration. * For any L indices n_1,...,n_L <= n, the values p_{n_i}(x) can be calculated simultaneously using O(n^{1/2} log n + L log(n/L)) arithmetic operations; again this running time bound holds uniformly. * Every hypergeometric (or, more generally, holonomic) function admits approximate evaluation up to absolute error e>0 within O((log(1/e)^{1/2} loglog(1/e)) -- as opposed to O(log(1/e)) -- arithmetic steps. * Given m and a polynomial p of degree d over a field of characteristic zero, the coefficient of p^m to term X^n can be computed within O(d^2 M(n^{1/2})) steps where M(n) denotes the cost of multiplying two degree-n polynomials. * The same time bound holds for the joint calculation of any L<=n^{1/2} desired coefficients of p^m to terms X^{n_i}, n_1,...,n_L <= n.

研究动机与目标

• 改进并推广现有用于具有常数或多项式系数的线性递推序列评估的算法。
• 实现对任意索引处序列项的高效多点评估，时间复杂度接近最优。
• 将改进后的算法应用于符号计算中的基本问题，包括正交多项式评估与高次多项式中特定系数的提取。
• 为不同类别的序列（包括可积序列与超几何函数）建立统一的复杂度界。
• 证明新算法在仅增加常数因子开销的前提下，推广了经典方法，并保持渐近最优性。

提出的方法

• 利用快速多项式多点求值与快速傅里叶变换，降低线性递推序列评估的代价。
• 应用矩阵幂运算与重复平方法，以 $Ó(k^3 \cdot \log n)$ 次运算计算常系数递推中高索引项。
• 基于伴随矩阵的结构，采用分治策略，同时计算多个非连续项。
• 利用有理函数运算与克莱默法则，分析可积序列和与积中递推系数的次数界。
• 将正交多项式评估问题转化为具有多项式系数的线性递推，从而实现统一的复杂度界。
• 利用多项式矩阵的逆矩阵其元素具有有界有理函数次数的性质，实现对序列和与积的递推关系的高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用高级代数技术，使线性递推序列第 $n$ 项的评估速度超过 $\mathcal{O}(n)$ 次运算？
• RQ2 对线性递推序列中 $\ell$ 个非连续项的计算，最优时间复杂度是多少？是否可在不同序列类型间实现统一？
• RQ3 如何利用基于递推的方法，以统一的复杂度界加速经典正交多项式的评估？
• RQ4 能否以输出敏感的复杂度实现对高次多项式（如 $p^m$）中特定系数的计算？
• RQ5 具有多项式系数的可积序列之和与积的递推关系，其次数与复杂度界为何？

主要发现

• 任意经典正交多项式族的第 $n$ 项在给定 $x$ 处的评估，可在 $\mathcal{O}(\sqrt{n} \cdot \log n)$ 次算术运算内完成，且与具体多项式族无关。
• 对所有正交多项式族，任意 $\ell$ 个项 $p_{n_i}(x)$（满足 $n_i \leq n$）的并行评估，可在 $\mathcal{O}(\sqrt{n} \cdot \log n + \ell \cdot \log(n/\ell))$ 次算术运算内完成，复杂度统一。
• 对任意超几何（或可积）函数进行近似评估，绝对误差不超过 $\epsilon > 0$，所需算术步骤为 $\mathcal{O}(\sqrt{\log(1/\epsilon)} \cdot \log\log(1/\epsilon))$，优于经典 $\mathcal{O}(\log(1/\epsilon))$ 边界。
• 在 $p^m$ 中，$X^n$ 的系数可在 $\mathcal{O}(d^2 \cdot M(\sqrt{n}))$ 步内计算，其中 $M(n)$ 表示多项式乘法的代价。
• 对 $\ell \leq \sqrt{n}$ 个指定次数 $n_i \leq n$ 的 $p^m$ 系数进行联合计算，同样可在 $\mathcal{O}(d^2 \cdot M(\sqrt{n}))$ 步内完成，与单系数边界一致。
• 两个具有多项式系数（次数为 $d$）的可积序列的和与积，其递推关系的深度分别不超过 $k + \ell$ 与 $k \cdot \ell$，其有理系数的次数分别为 $\mathcal{O}(d(k + \ell)^2)$ 与 $\mathcal{O}(d k^2 \ell^2)$。