[论文解读] Fast Multidimensional Asymptotic and Approximate Consensus

Matthias Függer, Thomas Nowak+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 16被引用 1

一句话总结

本文提出了两种新颖的多维一致性算法——ExtremePoint 和 Centroid——在具有时变拓扑结构的动态有向网络中实现了渐近一致性。通过使用与取值相关的权重以及与参与节点数量无关的分量收缩率，这些算法实现了线性收敛时间，这是最优的。Centroid 算法进一步实现了无坐标系操作，并在较弱的双向连通性假设下实现一致性。

ABSTRACT

We study the problem of asymptotic consensus as it occurs in a wide range of applications in both man-made and natural systems. In particular, we study systems with directed communication graphs that may change over time. We recently proposed a new family of convex combination algorithms in dimension one whose weights depend on the received values and not only on the communication topology. Here, we extend this approach to arbitrarily high dimensions by introducing two new algorithms: the ExtremePoint and the Centroid algorithm. Contrary to classical convex combination algorithms, both have component-wise contraction rates that are constant in the number of agents. Paired with a speed-up technique for convex combination algorithms, we get a convergence time linear in the number of agents, which is optimal. Besides their respective contraction rates, the two algorithms differ in the fact that the Centroid algorithm's update rule is independent of any coordinate system while the ExtremePoint algorithm implicitly assumes a common agreed-upon coordinate system among agents. The latter assumption may be realistic in some man-made multi-agent systems but is highly questionable in systems designed for the modelization of natural phenomena. Finally we prove that our new algorithms also achieve asymptotic consensus under very weak connectivity assumptions, provided that agent interactions are bidirectional.

研究动机与目标

• 解决在具有时变有向通信图的动态网络中实现快速渐近一致性的挑战。
• 将此前已证明具有最优收缩率的一维凸组合算法扩展到任意维度。
• 设计分量收缩率与参与节点数量无关的算法，以实现最优的线性收敛时间。
• 通过在双向通信下证明收敛性，确保在弱连通性假设下的鲁棒性，即存在无限多次双向通信且无限交集图强连通。
• 设计一种无坐标系的算法（Centroid），适用于建模自然系统，同时保持强收敛保证。

提出的方法

• 提出 ExtremePoint 算法，使用与取值相关的权重，并假设存在一个公共坐标系，实现分量收缩率为 $1 - \frac{1}{2d}$。
• 引入 Centroid 算法，作为无坐标系的变体，其分量收缩率为 $1 - \frac{1}{d+1}$，利用 Steiner 型对称化和 Brunn-Minkowski 不等式进行分析。
• 应用一种摊销（加速）技术于凸组合算法，将次优收敛性转化为与参与节点数量成线性关系的收敛时间。
• 定义并证明 α-安全性，确保各参与节点始终位于其邻居凸包的安全裕度范围内，这对收敛性保证至关重要。
• 利用 Moreau 定理分析双向通信下无穷多个随机矩阵的乘积，证明在弱连通性条件下的收敛性。
• 通过每一分量的分块对角随机矩阵表示来建模分量动态，并应用定理 12 以建立一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将最优的一维一致性算法推广到任意维度，同时保持快速收敛？
• RQ2 在高维空间中，基于取值的凸组合算法的分量收缩率是多少？其与参与节点数量的关系如何？
• RQ3 能否设计一种无坐标系的一致性算法，使其在不依赖共享坐标系的前提下仍保持强收敛保证？
• RQ4 在动态有向网络中，存在双向交互时，何种弱连通性假设仍能保证一致性？
• RQ5 能否为多维算法正式建立 α-安全性性质？其证明依赖哪些几何工具？

主要发现

• ExtremePoint 算法实现了 $1 - \frac{1}{2d}$ 的分量收缩率，且与参与节点数量无关。
• Centroid 算法实现了 $1 - \frac{1}{d+1}$ 的分量收缩率，同样与节点数量无关，并且无需共享坐标系即可运行。
• 当与加速技术结合时，两种算法的收敛时间均与参与节点数量成线性关系，达到最优。
• Centroid 算法在弱连通性假设下仍能保持收敛：若双向通信无限次发生，且无限交集图强连通，则一致性仍可达成。
• Centroid 算法的 α-安全性证明依赖于 Steiner 型对称化和 Brunn-Minkowski 不等式，该结果本身在几何上也具有独立的潜在兴趣。
• 所有三种算法——ExtremePoint、Centroid 和一维的 MidPoint——在相同的弱双向连通性条件下均实现渐近一致性，这由 Moreau 定理应用于分量级随机矩阵所保证。