[论文解读] Fast Phase Retrieval from Local Correlation Measurements

Mark Iwen, Aditya Viswanathan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2015

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 48被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种快速、确定性的相位恢复算法，能够在 $\mathcal{O}(d\log^4 d)$ 时间内，从 $\mathbb{C}^d$ 中复信号 ${\bf x}$ 的基于局部相关性的幅度测量中，以全局相位为模恢复该信号。该方法利用提升的线性系统处理局部相位差，并通过角度同步恢复完整信号的相位，同时通过 $\mathcal{O}(s\log^4 s \cdot \log d)$ 次测量，实现了对稀疏信号的次线性时间扩展。

ABSTRACT

We develop a fast phase retrieval method which can utilize a large class of local phaseless correlation-based measurements in order to recover a given signal ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ (up to an unknown global phase) in near-linear $\mathcal{O} \left( d \log^4 d ight)$-time. Accompanying theoretical analysis proves that the proposed algorithm is guaranteed to deterministically recover all signals ${\bf x}$ satisfying a natural flatness (i.e., non-sparsity) condition for a particular choice of deterministic correlation-based measurements. A randomized version of these same measurements is then shown to provide nonuniform probabilistic recovery guarantees for arbitrary signals ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$. Numerical experiments demonstrate the method's speed, accuracy, and robustness in practice -- all code is made publicly available. Finally, we conclude by developing an extension of the proposed method to the sparse phase retrieval problem; specifically, we demonstrate a sublinear-time compressive phase retrieval algorithm which is guaranteed to recover a given $s$-sparse vector ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ with high probability in just $\mathcal{O}(s \log^5 s \cdot \log d)$-time using only $\mathcal{O}(s \log^4 s \cdot \log d)$ magnitude measurements. In doing so we demonstrate the existence of compressive phase retrieval algorithms with near-optimal linear-in-sparsity runtime complexities.

研究动机与目标

• 开发一种针对基于局部相关性测量的信号的计算高效相位恢复方法。
• 通过新颖的提升与角度同步框架，为非稀疏（平坦）信号提供确定性恢复保证。
• 将该方法扩展至 $s$-稀疏信号的压缩相位恢复，实现次线性时间复杂度。
• 通过理论分析与数值验证，确保算法在噪声下的鲁棒性与准确性。
• 通过公开可用的代码与高效算法，实现实际部署。

提出的方法

• 将二次幅度测量提升为涉及 $x_i \overline{x_j}$ 的线性系统，其中 $|j-i| < \delta$，形成大小为 $(2\delta-1)d$ 的块状结构系统。
• 利用 $\mathcal{O}(\delta d)$ 次局部相关性测量，通过快速求解器高效求解提升后的系统。
• 应用角度同步方法，将信号向量中的局部相位差传播，以估计相对相位。
• 结合恢复的幅度 $|x_j|$ 与相位，重构原始信号 $\bf x$。
• 通过将压缩感知与所提出的相位恢复框架相结合，将该方法扩展至稀疏信号。
• 采用随机测量设计，为任意信号实现概率性恢复保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用局部相关性测量，在近线性时间内完成相位恢复？
• RQ2 针对从局部相关性数据中确定性恢复平坦信号，可建立何种理论保证？
• RQ3 该方法能否扩展至稀疏信号的压缩相位恢复，并实现次线性时间复杂度？
• RQ4 该算法对噪声的鲁棒性如何，可推导出何种误差界？
• RQ5 角度同步能否被有效用于稳定且高效地从局部相位差中恢复全局相位？

主要发现

• 该算法在 $\mathcal{O}(d\log^4 d)$ 时间内实现了对满足平坦性条件的所有 $d$-维信号的确定性恢复。
• 随机化变体为任意信号 ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ 提供了非均匀的概率恢复保证。
• 对于 $s$-稀疏信号，该方法在使用 $\mathcal{O}(s\log^4 s \cdot \log d)$ 次幅度测量的前提下，实现了 $\mathcal{O}(s\log^5 s \cdot \log d)$ 时间内的恢复。
• 该方法对噪声具有鲁棒性，并在数值实验中表现出高精度与高速度。
• 理论分析表明，在周期性边界假设下，提升系统矩阵具有良好的条件性。
• 该框架首次为 ptychographic 相位恢复问题提供了已知的全局鲁棒恢复保证。