[论文解读] Fast plurality consensus in regular expanders

Colin Cooper, Tomasz Radzik+2 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Distributed systems and fault tolerance参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种在正则展开图上运行的两样本投票协议，可在高概率下以 O((n log n)/A₁) 步内实现快速多数共识，其中 A₁ 是最大意见的初始大小。当多数意见领先第二大致意见的幅度超过 Cn·max{√(log n / A₁), λ} 时，该协议可确保多数意见获胜，其中 λ 为随机游走转移矩阵的第二特征值。

ABSTRACT

Pull voting is a classic method to reach consensus among $n$ vertices with differing opinions in a distributed network: each vertex at each step takes on the opinion of a random neighbour. This method, however, suffers from two drawbacks. Even if there are only two opposing opinions, the time taken for a single opinion to emerge can be slow and the final opinion is not necessarily the initially held majority. We refer to a protocol where 2 neighbours are contacted at each step as a 2-sample voting protocol. In the two-sample protocol a vertex updates its opinion only if both sampled opinions are the same. Not much was known about the performance of two-sample voting on general expanders in the case of three or more opinions. In this paper we show that the following performance can be achieved on a $d$-regular expander using two-sample voting. We suppose there are $k \ge 3$ opinions, and that the initial size of the largest and second largest opinions is $A_1, A_2$ respectively. We prove that, if $A_1 - A_2 \ge C n \max\{\sqrt{(\log n)/A_1}, λ\}$, where $λ$ is the absolute second eigenvalue of matrix $P=Adj(G)/d$ and $C$ is a suitable constant, then the largest opinion wins in $O((n \log n)/A_1)$ steps with high probability. For almost all $d$-regular graphs, we have $λ=c/\sqrt{d}$ for some constant $c>0$. This means that as $d$ increases we can separate an opinion whose majority is $o(n)$, whereas $Θ(n)$ majority is required for $d$ constant. This work generalizes the results of Becchetti et. al (SPAA 2014) for the complete graph $K_n$.

研究动机与目标

• 为解决在存在三个或更多意见且无绝对多数意见时，图上多数共识协议的性能差距问题。
• 将此前仅在双意见情形下有效的两样本投票效率扩展至更复杂的 k ≥ 3 意见的多数共识场景。
• 建立在正则展开图中，即使领先幅度较小，最大初始意见（即多数意见）以高概率获胜的条件。
• 分析图谱性质（特别是随机游走转移矩阵的第二特征值 λ）在决定共识速度与正确性方面的作用。

提出的方法

• 提出一种两样本投票协议：每个顶点独立均匀有放回地随机采样两个邻居，并采纳两者中的多数意见，若平票则默认采纳第一个意见。
• 利用谱图论方法控制意见传播的影响，特别利用随机游走转移矩阵 P = Adj(G)/d 的第二特征值 λ。
• 应用浓度不等式，证明意见规模随时间在期望值附近集中，从而确保快速收敛。
• 基于谱间隙与初始意见分布，推导意见规模期望变化的界，依赖引理 10 及相关结果对期望意见转移的分析。
• 证明当多数意见的领先幅度超过 Cn·max{√(log n / A₁), λ} 时，其期望规模随时间增长，从而确保收敛至共识。
• 通过与经典拉取投票协议及三样本协议的比较，验证所推导边界的合理性，表明两样本协议继承了强浓度性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当存在三个或更多意见且无绝对多数时，两样本投票是否能在正则展开图上实现快速共识？
• RQ2 在该类图中，多数意见以高概率获胜所需的最小初始领先幅度是多少？
• RQ3 图的谱间隙（通过 λ 表征）如何影响多数共识协议的收敛时间与正确性？
• RQ4 当度数 d 为常数时，是否可通过使用短随机游走替代独立邻居采样来提升两样本投票的性能？
• RQ5 在收敛速度与正确性保证方面，两样本协议与三样本投票相比有何差异？

主要发现

• 该两样本投票协议在 d-正则展开图上以高概率在 O((n log n)/A₁) 步内实现共识，其中 A₁ 为最大意见的初始规模。
• 当多数意见的初始规模超过第二大致意见至少 Cn·max{√(log n / A₁), λ} 时，其以高概率获胜，其中 C 为合适的常数。
• 对几乎所有 d-正则图，有 λ = c/√d（c > 0 为某常数），意味着更大的 d 可检测更小的多数意见。
• 当 d 为常数时，通过使用短随机游走替代独立采样，协议仍可实现多数意见的次线性分离。
• 谱间隙 λ 是决定多数主导阈值的关键参数，λ 越小，共识收敛越快且越可靠。
• 分析表明，利用谱技术可对两样本投票下意见规模的期望演化进行紧密有界，从而获得强浓度结果。