[论文解读] Fast quantum algorithm for differential equations

Mohsen Bagherimehrab, Kouhei Nakaji+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2023

Numerical Methods and Algorithms被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种快速量子算法，用于求解一大类非齐次偏微分方程（PDEs），其复杂度在系统规模 $N$ 上为多对数级，并且与条件数 $κ$ 无关。通过使用小波基作为坐标系，该方法实现了对角预条件器，能统一有界条件数，从而通过量子奇异值变换（QSVT）实现子线性缩放的高效量子线性系统求解。关键贡献在于，该量子算法对病态 PDE 实现了相对于经典方法的指数加速。

ABSTRACT

Partial differential equations (PDEs) are ubiquitous in science and engineering. Prior quantum algorithms for solving the system of linear algebraic equations obtained from discretizing a PDE have a computational complexity that scales at least linearly with the condition number $κ$ of the matrices involved in the computation. For many practical applications, $κ$ scales polynomially with the size $N$ of the matrices, rendering a polynomial complexity in $N$ for these algorithms. Here we present a quantum algorithm with a complexity that is polylogarithmic in $N$ but is independent of $κ$ for a large class of PDEs. Our algorithm generates a quantum state from which features of the solution can be extracted. Central to our methodology is using a wavelet basis as an auxiliary system of coordinates in which the condition number of associated matrices becomes independent of $N$ by a simple diagonal preconditioner. We present numerical simulations showing the effect of the wavelet preconditioner for several differential equations. Our work could provide a practical way to boost the performance of quantum simulation algorithms where standard methods are used for discretization.

研究动机与目标

• 为克服现有量子算法求解 PDE 时复杂度随条件数 $\kappa$ 线性增长的局限性，从而在病态系统中效率低下。
• 开发一种量子算法，实现在系统规模 $N$ 上为多对数复杂度且与 $\kappa$ 无关，从而为一大类 PDE 实现指数加速。
• 利用小波的数学特性，构建一个能统一有界离散化 PDE 矩阵条件数的预条件器，无论 $N$ 如何变化。
• 证明小波预条件化可实现高效量子矩阵求逆，即使对于非对称或变系数微分算子，也可通过量子奇异值变换（QSVT）实现。

提出的方法

• 该方法使用小波基作为离散化 PDE 的替代坐标系，将系统矩阵转换为条件数与 $N$ 无关的形式。
• 应用对角小波预条件器，该预条件器在不同矩阵规模下均保持条件数统一有界（例如，Haar 小波下为常数），从而有效稳定系统。
• 随后利用量子奇异值变换（QSVT）处理预条件化矩阵，通过矩阵求逆的多项式逼近实现高效的量子线性系统求解。
• 在远离零的区间上构造逆函数和阶跃函数的多项式逼近，确保在 $\varepsilon$ 误差范围内，同时保持有界算子范数。
• 使用复合多项式 $P_{\varepsilon/c,I_c}^{\textsc{mi}}(x)$ 近似 $1/(2cx)$，结合逆函数与阶跃函数逼近，实现 $\varepsilon/c$ 精度。
• 该方法适用于一大类 PDE，包括二阶和变系数微分算子，前提是小波预条件器能产生统一有界的条件数。

Figure 1: (a) The diagonal wavelet preconditioner with size $2^{n}$ ; $n=4$ is shown in (b). The matrix has a block-diagonal structure with blocks of exponentially increasing size. Diagonals are constant within each block but are exponentially decreasing from block to block. (c) Condition numbers wi

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种量子算法，能够以在 $N$ 上为多对数复杂度且与 $\kappa$ 无关的方式求解一大类 PDE？
• RQ2 小波预条件化是否能确保离散化 PDE 矩阵的条件数在系统规模 $N$ 变化时始终保持统一有界？
• RQ3 是否可能通过 QSVT 与多项式逼近实现对病态 PDE 系统的高效量子矩阵求逆，即使 $\kappa$ 随 $N^2$ 增长？
• RQ4 在小波坐标中使用结构化对角预条件器，是否能在保持与已知量子复杂度下限一致的前提下，实现 $\kappa$ 的次线性缩放？

主要发现

• 小波预条件器确保了离散化 PDE 矩阵的条件数保持统一有界（例如，Haar 小波下为常数），且与系统规模 $N$ 无关。
• 数值模拟证实，小波预条件器能有效降低算子 $\mathcal{L}_1 = d^2/dx^2$、$\mathcal{L}_2 = d^2/dx^2 - d/dx + 1$ 和 $\mathcal{L}_3 = -d/dx(\cosh(x/4)d/dx) + e^x$ 的条件数，且在 $N$ 增大时条件数仍保持有界。
• 该量子算法实现了在 $N$ 上为多对数复杂度且与 $\kappa$ 无关的计算复杂度，从而对病态 PDE 实现了相对于经典方法的指数加速。
• 该方法未违反已知的量子复杂度下限，因其仅适用于特定类别的 PDE——即‘可快速求解’的 PDE，类似于‘可快速前向’的哈密顿量。
• 通过使用 QSVT 与逆函数和阶跃函数的多项式逼近，可在量子计算机上实现准确且有界的矩阵求逆，误差控制在 $\varepsilon$ 范围内。
• 该算法适用于一大类非齐次 PDE，包括二阶和变系数微分算子，前提是小波预条件器能产生统一有界的条件数。

Figure 2: (a) Quantum circuit for generating the solution state $\ket{\psi}$ in Eq. ( 4 ). Multi-qubit gates do not act on dashed-line qubits. qmi block-encodes the inverse of the preconditioned matrix as in Eq. ( 7 ) and $\mathcal{A}$ denotes amplitude amplification. (b) Implementing $U^{\pm}$ in E