[论文解读] Fast Quantum Algorithm for Solving Multivariate Quadratic Equations

Jean‐Charles Faugère, Kelsey Horan+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用 22

一句话总结

本文提出了一种拉斯维加斯量子算法，在强半正则性假设下，以 $ O(2^{0.462n}) $ 个量子门求解 $ m = n $ 个布尔多变量二次方程（MQ₂）系统。通过结合格罗弗的振幅放大与基于格罗布纳基技术的量子一致性检查预言机，该算法在经典方法上实现了次二次加速，并在该结构化问题上超越了标准格罗弗搜索的 $ O(2^{n/2}) $ 上限。

ABSTRACT

In August 2015 the cryptographic world was shaken by a sudden and surprising announcement by the US National Security Agency NSA concerning plans to transition to post-quantum algorithms. Since this announcement post-quantum cryptography has become a topic of primary interest for several standardization bodies. The transition from the currently deployed public-key algorithms to post-quantum algorithms has been found to be challenging in many aspects. In particular the problem of evaluating the quantum-bit security of such post-quantum cryptosystems remains vastly open. Of course this question is of primarily concern in the process of standardizing the post-quantum cryptosystems. In this paper we consider the quantum security of the problem of solving a system of {\it $m$ Boolean multivariate quadratic equations in $n$ variables} (\MQb); a central problem in post-quantum cryptography. When $n=m$, under a natural algebraic assumption, we present a Las-Vegas quantum algorithm solving \MQb{} that requires the evaluation of, on average, $O(2^{0.462n})$ quantum gates. To our knowledge this is the fastest algorithm for solving \MQb{}.

研究动机与目标

• 开发一种量子算法，以超越求解 MQ₂ 问题的 $ O(2^{n/2}) $ 量子复杂度上限，该问题是后量子密码学中的核心问题。
• 通过提供一个具体且高效的量子攻击模型，评估多变量密码系统的量子比特安全性。
• 通过利用 MQ₂ 系统中的代数结构并引入量子一致性检查，克服通用量子搜索的局限性。
• 通过集成量子振幅放大的格罗布纳基技术，展示超越格罗弗算法的量子加速。
• 在现实的代数假设（如强半正则性）下，为求解 MQ₂ 提供实际的量子复杂度估计。

提出的方法

• 该算法采用受格罗弗方法启发的振幅放大，用于搜索由变量子集生成的不一致的麦克劳林矩阵。
• 构建一个量子预言机 $ \mathcal{QBS} $，用于检查从 $ k = (1 - \gamma)n $ 个变量中提取的子系统的相容性，利用系统的结构特征。
• 通过评估麦克劳林矩阵并判断系统是否无解，使用黑箱模型在量子电路中实现一致性检查。
• 算法应用格罗弗的扩散算符，放大不一致配置的振幅，从而高效识别出有问题的变量赋值。
• 在识别出不一致的部分赋值后，算法对剩余的 $ n - k $ 个变量执行最终的穷举量子搜索，使用格罗弗算法。
• 通过优化控制一致性检查次数与剩余搜索空间大小之间权衡的参数 $ \gamma $，使整体复杂度最小化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种量子算法，在求解 MQ₂ 时实现超越格罗弗算法 $ O(2^{n/2}) $ 上限的加速？
• RQ2 当系统表现出强半正则性时，求解 MQ₂ 的量子复杂度是多少？
• RQ3 基于格罗布纳基技术的量子一致性检查能否在叠加态中高效实现，以减少整体门数？
• RQ4 振幅放大与 MQ₂ 系统中的代数结构相结合，如何影响渐近量子复杂度？
• RQ5 量子算法在多大程度上能超越经典近似算法（如基于多项式逼近的算法）求解 MQ₂？

主要发现

• 所提出的拉斯维加斯量子算法在系统为 0.17-强半正则时，求解 MQ₂ 的期望门复杂度为 $ O(2^{0.462n}) $。
• 该复杂度显著优于求解 MQ₂ 的最佳已知经典算法的 $ O(2^{0.396n}) $ 复杂度。
• 该算法优于通用量子搜索的 $ O(2^{n/2}) $ 上限，表明结构化问题可实现超格罗弗加速。
• 量子一致性检查预言机 $ \mathcal{QBS} $ 被证明可在叠加态中实现，从而支持对部分赋值的高效振幅放大。
• 分析表明，对剩余变量的最终穷举搜索成本与一致性检查成本相比可忽略不计。
• 数值优化表明，在 $ \theta = 2 $ 且 $ \gamma = 0.17 $ 的假设下，假设系统为 0.17-强半正则性时，量子门数的最小指数为 0.462。